Przedstawić równanie w postaci graficznej. Liczby zespolone

[Xenon02]

Witam!!

Mam mały problem z dalszym rozwiazywaniem tej równości.
\(|z-j|+|z+j|=2\)

Wykonałem pewną część tego zadania I obliczyłem coś takiego :

\(|x+yj-j|+|x+yj+j|=2\)
\(\sqrt{x^2 +(y-1)^2}+\sqrt{x^2+(y+1)^2}=2\)
\(\sqrt{x^2 +(y-1)^2}=2-\sqrt{x^2+(y+1)^2}\) <--^2
(Trochę skrócę obliczenia bo trochę tego pisania jest)

\(y^2-2y+1=4-4\sqrt{x^2+(y+1)^2}+y^2+2y+1\)
\(-4y-4=-4\sqrt{x^2+(y+1)^2}\)
\(y+1=\sqrt{x^2+(y+1)^2}\) <-- ^2
\(y^2+2+1=x^2+y^2+2y+1\)
\(x=0\)

I nie wiem jak obliczyć "y" czy ktoś wie jak to obliczyć algebraicznie ? Byłbym bardzo wdzięczny i przepraszam za wszelkie kłopoty.

[Icanseepeace]

Dla \( z = 0 \) mamy równość.
Dla \( z \neq 0 \) mamy \( |z - j| + |z + j| > 2 \) (nierówność trójkąta)

[Xenon02]

Dla \( z = 0 \) mamy równość.
Dla \( z \neq 0 \) mamy \( |z - j| + |z + j| > 2 \) (nierówność trójkąta)

Nie za bardzo wiem skąd ci się wziął " > 2"

A nie da się jakoś wykorzystać x = 0 ?

[Icanseepeace]

Dla \( z = 0 \) mamy równość.
Dla \( z \neq 0 \) mamy \( |z - j| + |z + j| > 2 \) (nierówność trójkąta)

Nie za bardzo wiem skąd ci się wziął " > 2"

Tutaj troszkę oszukałem za co bardzo przepraszam. Po znalezieniu \( z = 0 \) zacząłem szukać trójkątów zamiast sprawdzić przypadek punktów współliniowych. Oczywiście dowolna liczba zespolona w postaci \( z = yi \) gdzie \( y \in [-1 , 1] \) spełnia to równanie.

\( x = 0 \So z = yi \) dla pewnej liczby rzeczywistej \( y \).
Zatem:
\( |yi - i| + |yi + i| = 2 \So |y - 1| + |y + 1| = 2 \)
co jest zwyczajną szkolną nierównością z wartości bezwzględną. Mamy:
\( |y - 1| + |y+1| = |y - 1| + |-1 - y| \geq |y - 1 - 1 - y| = 2 \)
Przy czym równość zajdzie gdy \( (y-1)(-1-y) \geq 0 \So y \in [-1 , 1] \)
Równość spełniają liczby zespolone w postaci: \( z = yi \) gdzie \( y \in [-1 , 1] \)

[Xenon02]

Dla \( z = 0 \) mamy równość.
Dla \( z \neq 0 \) mamy \( |z - j| + |z + j| > 2 \) (nierówność trójkąta)

Nie za bardzo wiem skąd ci się wziął " > 2"

Tutaj troszkę oszukałem za co bardzo przepraszam. Po znalezieniu \( z = 0 \) zacząłem szukać trójkątów zamiast sprawdzić przypadek punktów współliniowych. Oczywiście dowolna liczba zespolona w postaci \( z = yi \) gdzie \( y \in [-1 , 1] \) spełnia to równanie.

\( x = 0 \So z = yi \) dla pewnej liczby rzeczywistej \( y \).
Zatem:
\( |yi - i| + |yi + i| = 2 \So |y - 1| + |y + 1| = 2 \)
co jest zwyczajną szkolną nierównością z wartości bezwzględną. Mamy:
\( |y - 1| + |y+1| = |y - 1| + |-1 - y| \geq |y - 1 - 1 - y| = 2 \)
Przy czym równość zajdzie gdy \( (y-1)(-1-y) \geq 0 \So y \in [-1 , 1] \)
Równość spełniają liczby zespolone w postaci: \( z = yi \) gdzie \( y \in [-1 , 1] \)

Przepraszam jeszcze się tak zapytam.
Bo ja te wartości bezwględne liczyłem na zasadzie 4 różnych warunków że y+1>0,y-1>0 i ich kombinacje.
To u ciebie widzę że dałeś znak większości i mniejszości przez co dodałeś ze sobą do wspólnej wartości bezwzględnej. Mógłbyś mi powiedzieć dlaczego tak to zrobiłeś ? Bo się trochę pogubiłem.

Przepraszam za wszelkie kłopoty z tym związane ale pamiętam tylko sposób na rozpisane na kilka przypadków w tym wypadku są to 4.

[Icanseepeace]

To u ciebie widzę że dałeś znak większości i mniejszości przez co dodałeś ze sobą do wspólnej wartości bezwzględnej. Mógłbyś mi powiedzieć dlaczego tak to zrobiłeś ?

Po to aby uniknąć rozbijania na 3 przypadki. Metoda z przypadkami mi się przejadła i używam jej tylko w ostateczności(średnio przepadam za schematami). Rozwiązanie za pomocą rozbicia na przypadki również będzie poprawne.

Przepraszam za wszelkie kłopoty z tym związane ale pamiętam tylko sposób na rozpisane na kilka przypadków w tym wypadku są to 4.

3 przypadki.
\( 1^o \ y \in (- \infty, -1) \\ 2^o \ y \in [-1 , 1] \\ 3^o \ y \in (1, \infty) \)

[Xenon02]

A to ja to trochę inaczej liczyłem.

Dla
\(|y-1|+|y+1| = 2\)

To dawałem 4 przypadki :
1. y+1>=0 i y-1>=0
2. y+1<0 i y-1>=0
3.y+1>=0 i y-1<0
4.y+1<0 i y-1<0

Wyszło mi to jakoś ale akurat lubię całkiem schematyczność bo wiem ze wtedy się nie pomylę.
Jeszcze się zapytam to jak się nazywa ten sposób co pozwala łączyć wartości bezwzględne i zapisałeś je jako równanie kwadratowe ?

co jest zwyczajną szkolną nierównością z wartości bezwzględną. Mamy:
|y−1|+|y+1|=|y−1|+|−1−y|≥|y−1−1−y|=2
Przy czym równość zajdzie gdy (y−1)(−1−y)≥0⇒y∈[−1,1]

[Icanseepeace]

Dla
\(|y-1|+|y+1| = 2\)
To dawałem 4 przypadki :
1. y+1>=0 i y-1>=0
2. y+1<0 i y-1>=0
3.y+1>=0 i y-1<0
4.y+1<0 i y-1<0

W takim razie ile przypadków dałbyś dla równania:
\( |y + 1| + |y| + |y-1| = 3 \)
oraz dla równania:
\( |y + 2| + |y+1| + |y| + |y-1| + |y-2| = 5 \)

Jeszcze się zapytam to jak się nazywa ten sposób co pozwala łączyć wartości bezwzględne i zapisałeś je jako równanie kwadratowe ?
co jest zwyczajną szkolną nierównością z wartości bezwzględną. Mamy:
|y−1|+|y+1|=|y−1|+|−1−y|≥|y−1−1−y|=2
Przy czym równość zajdzie gdy (y−1)(−1−y)≥0⇒y∈[−1,1]

Najpierw pokazałem, że lewa strona jest większa bądź równa od 2 przy pomocy nierówności \( |x + y| \leq |x| + |y| \)
Potem wskazałem kiedy taka równość zachodzi (wtedy gdy \( x \cdot y \geq 0 \) czyli gdy liczby \( x \) i \( y \) mają ten sam znak)

[Xenon02]

W takim razie ile przypadków dałbyś dla równania:
\( |y + 1| + |y| + |y-1| = 3 \)
oraz dla równania:
\( |y + 2| + |y+1| + |y| + |y-1| + |y-2| = 5 \)

W sumie dla takiego układu to dla pierwszego o ile dobrze sobie wypisałem to z 7 warunków. Ale rzeczywiście dla większej liczby wartości bezwzględnych może to być bardzo skomplikowane. A tak się zapytam czy masz jakiś sposób na to? Podobnie jak w poprzednim przykładzie czy jakoś inaczej?

Najpierw pokazałem, że lewa strona jest większa bądź równa od 2 przy pomocy nierówności \( |x + y| \leq |x| + |y| \)
Potem wskazałem kiedy taka równość zachodzi (wtedy gdy \( x \cdot y \geq 0 \) czyli gdy liczby \( x \) i \( y \) mają ten sam znak)

Tak się zapytam, czy można tak po prostu zmieniać wartość w wartości bezwględnej z |y+1| na |-1-y|bo jakbyśmy zastosowali ten wzór albo raczej przekształcenie \(|y-1|+|y+1|>= |y-1+y+1|\) czyli \(|y-1|+|y+1|>= |2y|\)
Jeszcze się dopytam bo rozumiem że wyciągnęliśmy z lewej strony informację że \(|y-1|+|-1-y|>= 2\) te wartości bewzględne są większe lub równe 2. Ale jak doszliśmy do tego że zapisaliśmy je w formie \((y-1)(-1-y)>=0\).

Sorry że się tak dopytuję ale trochę się zgubiłem. A muszę jakoś rozruszać moją głowę.

[Icanseepeace]

Tak się zapytam, czy można tak po prostu zmieniać wartość w wartości bezwględnej z |y+1| na |-1-y|)

Można (https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATU ... tyczne.pdf - rozdział pierwszy). Liczby x, -x są na osi rzeczywistej równoodległe od 0.

Jeszcze się dopytam bo rozumiem że wyciągnęliśmy z lewej strony informację że \(|y-1|+|-1-y|>= 2\) te wartości bewzględne są większe lub równe 2. Ale jak doszliśmy do tego że zapisaliśmy je w formie \((y-1)(-1-y)>=0\).

Najpierw pokazałem, że lewa strona jest większa bądź równa od 2 przy pomocy nierówności \( |x + y| \leq |x| + |y| \)
Potem wskazałem kiedy taka równość zachodzi (wtedy gdy \( x \cdot y \geq 0 \) czyli gdy liczby \( x \) i \( y \) mają ten sam znak)

\( |x + y| \leq |x| + |y| \) dla dowolnych liczb rzeczywistych, ale \( |x+y| = |x| + |y| \) gdy \( x \cdot y \geq 0 \)