Odwzorowanie

[gr4vity]

Czy to zadanie poprawnie rozwiązałem?
Sprawdź czy odwzorowanie \(F:X \to Y\) jest liniowe.
\(X=Y= \rr ^{3},F(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\)
Sprawdzam warunek pierwszy (czy funkcja jest addytywna):
niech: \(a,b,c,d,e,f \in \rr ^{3}\)
\(F(a+b,c+d,e+f)=a^{2}+2ab+b^{2}+c^{2}+2cd+d^{2}+e^{2}+2ef+f^{2}\)
\(F(a,c,e)+F(b,d,f)=a^{2}+c^{2}+e^{2}+b^{2}+d^{2}+f^{2}\)
\(F(a+b,c+d,e+f) \neq F(a,c,e)+F(b,d,f)\)
Zatem to nie jest odwzorowanie liniowe.
Jeżeli samo rozwiązanie jest poprawne to czy \(a,b,c,d,e,f\) należą do \( \rr \) czy do \( \rr ^{3}\)?

[panb]

\(x_1, x_2, x_3\) to liczby rzeczywiste. \((x_1, x_2, x_2) \in \rr^3\)
To samo dotyczy a, b, ... - to liczby rzeczywiste!

[gr4vity]

Dziękuję bardzo, poza tym samo rozwiązanie jest ok?

[panb]

Tak, jasne.

[gr4vity]

Jeszcze jedno takie szybkie pytanie, mam taką funkcję:
\(X=Y=R^{2}, F(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2},-2x_{1}+2x_{2})\)
Czy tak wyglądałoby sprawdzenie czy zachowuje mnożenie przez skalar (tzn. jest jednorodna)?
\(a,b, \alpha \in \rr \)
\(F( \alpha a,\alpha b)=(\alpha a - \alpha b, -2\alpha a + 2 \alpha b) \)
\(\alpha F(a,b)=(\alpha a - \alpha b, -2\alpha a + 2 \alpha b)\)
\(\alpha F(a,b)=F(\alpha a,\alpha b)\)
Zatem funkcja jest jednorodna.

[panb]

Jeszcze jedno takie szybkie pytanie, mam taką funkcję:
\(X=Y=R^{2}, F(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2},-2x_{1}+2x_{2})\)
Czy tak wyglądałoby sprawdzenie czy zachowuje mnożenie przez skalar (tzn. jest jednorodna)?
\(a,b, \alpha \in \rr \)
\(F( \alpha a,\alpha b)=(\alpha a - \alpha b, -2\alpha a + 2 \alpha b) \)
\(\alpha F(a,b)=(\alpha a - \alpha b, -2\alpha a + 2 \alpha b)\)
\(\alpha F(a,b)=F(\alpha a,\alpha b)\)
Zatem funkcja jest jednorodna.

Jasne. Ja bym dla ścisłości napisał \(\alpha F(a,b)=\alpha(a-b,-2a+2b)=(\alpha a - \alpha b, -2\alpha a + 2 \alpha b)\)

[gr4vity]

Dziękuję pięknie !