Macierz odwzorowania, jądro i obraz

[WiktorG]

Niech \(F : \rr^3 → \rr^3, F(x, y, z) = (x+ 2y−z, y−4z, x+ 5y)\). Zapisz macierz odwzorowania.
Wyznacz jądro i obraz tego odwzorowania. Zbadaj, czy \(F\) jest różnowartościowe i „na”.

Czy mógłby ktoś wytłumaczyć krok po kroku, jak rozwiązać to zadanie?
Z góry dziękuję!

[panb]

Niech \(F : \rr^3 → \rr^3, F(x, y, z) = (x+ 2y−z, y−4z, x+ 5y)\). Zapisz macierz odwzorowania.
Wyznacz jądro i obraz tego odwzorowania. Zbadaj, czy \(F\) jest różnowartościowe i „na”.

Czy mógłby ktoś wytłumaczyć krok po kroku, jak rozwiązać to zadanie?
Z góry dziękuję!

Najpierw macierz. To proste. Przepisujesz współczynniki przy x, y i z tylko ... kolumnami.
W takim razie macierz \[F= \begin{bmatrix} 1&2&-1\\0&1&-4\\1&5&0\end{bmatrix} \]

Łatwo sprawdzić, że \(F(x,y,z)= \begin{bmatrix} 1&2&-1\\0&1&-4\\1&5&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\)

[WiktorG]

Z macierzą sobie poradziłem, bardziej potrzebuje pomocy z jądrem i obrazem.

[panb]

Jądrem przekształcenia F jest zbiór \(\{(x,y,z): F(x,y,z)=(0,0,0)\}\)
Żeby je znaleźć trzeba rozwiązać układ równań \( \begin{cases} x+2y-z=0\\y-4z=0\\x+5y=0\end{cases} \).
Ma on zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie (0,0,0), a w tym przypadku jest to jedyne rozwiązanie tego układu.
Oznacza to, że \(\ker F=\{(0,0,0)\}\)

[panb]

Obraz, w przypadku, gdy jądro jest jednoelementowe, jest łatwo znaleźć.
\((x+2y-z,y-4z,x+5y)=x(1,0,1)+y(2,1,5)+z(-1,-4,0)=x(1,0,1)+y(2,1,5)-z(1,4,0)\).
\(Im F=lin\{(1,0,1),(2,1,5),(1,4,0)\}\)

Uwaga. Jeśli jądro nie jest jednoelementowe, tutaj jest fajna metoda wyznaczania jądra i obrazu

[WiktorG]

Dziękuję bardzo!!

[panb]

No i ostatnia rzecz.
Odwzorowanie K jest różnowartościowe, bo \(\ker F=\{(0,0,0)\}\)
Jest też "na", bo \(dimF=dim(Im F)\)

[panb]

Dziękuję bardzo!!

Bardzo proszę.
Enjoy!