Struktury: grupa

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Sway22
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 131
Rejestracja: 02 gru 2021, 22:58
Podziękowania: 44 razy
Płeć:

Struktury: grupa

Post autor: Sway22 »

Sprawdzić, czy zbiór \( \rr \bez \{1\}\) z działaniem \(x \cdot y = x + y − xy\) jest grupą.
Ostatnio zmieniony 03 gru 2021, 10:10 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Struktury: grupa

Post autor: grdv10 »

Z czym jest kłopot? Pokaż, co masz w tej kwestii zrobione. Bo gotowców nie daję. Tylko wskazówki.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Struktury: grupa

Post autor: panb »

1. sprawdzenie, czy działanie jest wewnętrzne
  • Przypuśćmy, że \(x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x \cdot y=1 \iff x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x+y-xy=1\\
    x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x+y-xy=1 \iff x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge x(1-y)=1-y \iff\\ x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge (1-y)(x-1)=0 \iff x\neq1 \wedge y\neq1 \wedge (x=1 \vee y=1)\)

    Sprzeczność.
Wniosek: działanie jest wewnętrzne.

2. sprawdzenie czy działanie jest łączne
  • \((a \cdot b) \cdot c=(a+b-ab) \cdot c=a+b-ab+c-c(a+b-ab)=a+b+c-ab-ac-bc+abc\\
    a \cdot (b \cdot c)=a \cdot (b+c-bc)=a+b+c-bc-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-bc+abc\\
    (a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)\)
Wniosek: działanie jest łączne

3. element neutralny
  • \(x \cdot e=x+e-ex=x \iff e-ex=0 \iff e(1-x)=0 \So e=0 \quad (x\neq1)\)
Wniosek: e=0 jest elementem neutralnym działania

4. element odwrotny
  • \(a \cdot x= 0 \iff a+x-ax=0 \iff x(a-1)=a \iff x= \frac{a}{a-1} \)
Wniosek: każdy element \(a\in \rr\bez\{1\}\)posiada element odwrotny \(x= \frac{a}{a-1} \)

Odpowiedź: Jest to grupa.

grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Struktury: grupa

Post autor: grdv10 »

Nie lubię dawania gotowców, ale to indywidualna sprawa każdego z nas i nie podlega ocenie. No to jeszcze dodam, że na zerach i jedynkach działanie \(x\odot y=x+y-xy\) realizuje alternatywę, zaś w teorii zbiorów rozmytych jest tzw. konormą trójkątną.
ODPOWIEDZ