Wyznacz macierz odwrotną.

[Sway22]

a) \( \begin{bmatrix}
2 & 5 & 7 \\
6 & 3 & 4 \\
5 & -2 & -3
\end{bmatrix}\)

[kerajs]

\( \begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
-38 & 41 & -34 \\
27 & -29 & 24
\end{bmatrix} \)

[panb]

a) \( \begin{bmatrix}
2 & 5 & 7 \\
6 & 3 & 4 \\
5 & -2 & -3
\end{bmatrix}\)

Jaką metodą liczycie macierze odwrotne (metoda uzupełnień/metoda eliminacji)?

[Icanseepeace]

\( A = \begin{bmatrix}
2 & 5 & 7 \\
6 & 3 & 4 \\
5 & -2 & -3
\end{bmatrix} \)
\( A^{-1} = -A^2 + 2A + 66I = \begin{bmatrix}
-69 & -11 & -13 \\
-50 & -31 & -42 \\
17 & -25 & -36
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
4 & 10 & 14 \\
12 & 6 & 8 \\
10 & -4 & -6
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
66 & 0 & 0 \\
0 & 66 & 0 \\
0 & 0 & 66
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
-38 & 41 & -34 \\
27 & -29 & 24
\end{bmatrix} \)

[panb]

\( A = \begin{bmatrix}
2 & 5 & 7 \\
6 & 3 & 4 \\
5 & -2 & -3
\end{bmatrix} \)
\( A^{-1} = -A^2 + 2A + 66I = \begin{bmatrix}
-69 & -11 & -13 \\
-50 & -31 & -42 \\
17 & -25 & -36
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
4 & 10 & 14 \\
12 & 6 & 8 \\
10 & -4 & -6
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
66 & 0 & 0 \\
0 & 66 & 0 \\
0 & 0 & 66
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
-38 & 41 & -34 \\
27 & -29 & 24
\end{bmatrix} \)

Możesz wyjaśnić skąd to?

[Icanseepeace]

\( A = \begin{bmatrix}
2 & 5 & 7 \\
6 & 3 & 4 \\
5 & -2 & -3
\end{bmatrix} \)
\( A^{-1} = -A^2 + 2A + 66I = \begin{bmatrix}
-69 & -11 & -13 \\
-50 & -31 & -42 \\
17 & -25 & -36
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
4 & 10 & 14 \\
12 & 6 & 8 \\
10 & -4 & -6
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
66 & 0 & 0 \\
0 & 66 & 0 \\
0 & 0 & 66
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
-38 & 41 & -34 \\
27 & -29 & 24
\end{bmatrix} \)

Możesz wyjaśnić skąd to?

\( A = \begin{bmatrix}
2 & 5 & 7 \\
6 & 3 & 4 \\
5 & -2 & -3
\end{bmatrix} \)
Wielomian charakterystyczny macierzy \( A \):
\( w(\lambda) = \begin{bmatrix}
2 - \lambda & 5 & 7 \\
6 & 3 - \lambda & 4 \\
5 & -2 & -3 -\lambda \end{bmatrix} = -\lambda^3 + 2\lambda^2 + 66\lambda - 1\)
Ponieważ \( w(0) = -1 \neq 0 \) to macierz jest macierzą nieosobliwą, więc i odwracalną.
Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona (https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2 ... on_theorem) wiemy, że wielomian charakterytyczny macierzy kwadratowej jest jej wielomianem zerującym. Dlatego:
\( -A^3 + 2A^2 + 66A - I = 0 \)
lub też równoważnie:
\( A(-A^2 + 2A + 66I) = I \)
czyli
\( A^{-1} = -A^2 + 2A + 66I \)
Reszta to kwestia rachunków.