Rozwiązać równania macierzowe!

[Sway22]

Rozwiązać równania macierzowe:

-- | 2 −3 | ---- | 2 3 |
a) | 4 −6 | X = | 4 6 |

--- | 2 3 | --- | 1 −2|
b) | 4 6 | X = | 0 4 |

--- | 3 −1 | - | 2 −1| - | 12 16|
c) | 5 −2 | X | 4 2 | = | 1 3 |

--- | 3 −1 1 | --- | 3 9 7 |
d) | 4 −3 3 | X = | 1 11 7|
--- | 1 3 0 | ----- |7 5 7 |

kreski są tylko pomocniczo, bo niestety usuwa spacje

[grdv10]

ASCII art to nie jest najlepszy pomysł. Wpisz to porządnie w LaTeX-u, a może dostaniesz wskazówkę.

[Jerry]

--- | 3 −1 1 | --- | 3 9 7 |
d) | 4 −3 3 | X = | 1 11 7|
--- | 1 3 0 | ----- |7 5 7 |

To próba pomocy z mojej strony ... Czy to miało być:

d) \( \begin{bmatrix}
3 & -1 & 1 \\
4 & -3 & 3 \\
1 & 3 & 0
\end{bmatrix}
\cdot X =
\begin{bmatrix}
3 & 9 & 7 \\
1 & 11 & 7 \\
7 & 5 & 7
\end{bmatrix} \)

Jeśli tak - podejrzyj mój post, starałem się kodować przejrzyście, przez "cytuj" i napisz w tym wątku nowy, z czytelną treścią w kodzie \(\LaTeX\)

Pozdrawiam

[Sway22]

jak mam "podejrzeć twój post"?

[Jerry]

Naciśnij cudzysłów przy moim poście!
Z kciuka wnioskuję, że zgadłem ...

Pozdrawiam

[Sway22]

a) \( \begin{bmatrix}
2 & -3 \\
4 & -6
\end{bmatrix}
\cdot X =
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
4 & 6
\end{bmatrix} \)

b) \( \begin{bmatrix}
2 & 3 \\
4 & 6
\end{bmatrix}
\cdot X =
\begin{bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 4
\end{bmatrix} \)

c) \( \begin{bmatrix}
3 & -1 \\
5 & -2
\end{bmatrix}
\cdot X
\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
4 & 2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
12 & 16 \\
1 & 3
\end{bmatrix} \)

d) \( \begin{bmatrix}
3 & -1 & 1 \\
4 & -3 & 3 \\
1 & 3 & 0
\end{bmatrix}
\cdot X =
\begin{bmatrix}
3 & 9 & 7 \\
1 & 11 & 7 \\
7 & 5 & 7
\end{bmatrix} \)

[panb]

a) \( \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{bmatrix} \cdot X = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \)

Macierz \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{bmatrix} \) jest osobliwa (wyznacznik jest równy 0), więc nie ma odwrotnej. Trzeba próbować "na piechotę".
\[\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x&y\\z&t\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2x-3z&2y-3t\\4x-6z&4y-6t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}\]
Rozwiązaniem jest \(x=1, t=-1, y=z=0\). Więc

Odpowiedź: \(X= \begin{bmatrix}1&0\\0&-1 \end{bmatrix} \)

[panb]

b) \( \begin{bmatrix}2 & 3 \\4 & 6 \end{bmatrix}\cdot X =\begin{bmatrix}1 & -2 \\0 & 4 \end{bmatrix} \)

Tutaj mamy podobną sytuację z tym, że tym razem nie ma rozwiązania.

Odpowiedź: Układ jest sprzeczny

[panb]

c) \( \begin{bmatrix}3 & -1 \\5 & -2 \end{bmatrix}\cdot X\begin{bmatrix}2 & -1 \\4 & 2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}12 & 16 \\1 & 3 \end{bmatrix} \)

Tym razem żadna z macierzy nie jest osobliwa, więc można rozwiązywać używając macierzy odwrotnych.
Jeśli \(AXB=C \So X=A^{-1}CB^{-1}\). Ponadto \( \begin{bmatrix}a&b\\c&d \end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix}d&-b\\-c&a \end{bmatrix} \)

W takim razie \[X=\begin{bmatrix}3 & -1 \\5 & -2 \end{bmatrix}^{-1}\cdot \begin{bmatrix}12 & 16 \\1 & 3 \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix}2 & -1 \\4 & 2\end{bmatrix}^{-1}\\ X=-1 \cdot \begin{bmatrix}-2&1\\-5&3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 12&16\\1&3\end{bmatrix} \cdot \frac{1}{8} \cdot \begin{bmatrix}2&1\\-4&2 \end{bmatrix}\\
X= -\frac{1}{8} \begin{bmatrix} 70&-81\\170&-199\end{bmatrix} = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} -70&81\\-170&199\end{bmatrix} \]

Odpowiedź: \(X= \begin{bmatrix} -\frac{35}{4} & \frac{81}{8} \\ -\frac{85}{4}& \frac{199}{8} \end{bmatrix} \)

[panb]

d) \( \begin{bmatrix}3 & -1 & 1 \\4 & -3 & 3 \\1 & 3 & 0 \end{bmatrix}\cdot X =\begin{bmatrix}3 & 9 & 7 \\1 & 11 & 7 \\
7 & 5 & 7 \end{bmatrix} \)

Macierz \( \begin{bmatrix}3 & -1 & 1 \\4 & -3 & 3 \\1 & 3 & 0 \end{bmatrix}\) jest nieosobliwa (\(Det(A)=-15\)), więc \[X=\begin{bmatrix}3 & -1 & 1 \\4 & -3 & 3 \\1 & 3 & 0 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}3 & 9 & 7 \\1 & 11 & 7 \\ 7 & 5 & 7 \end{bmatrix}\]

Wystarczy policzyć \(\begin{bmatrix}3 & -1 & 1 \\4 & -3 & 3 \\1 & 3 & 0 \end{bmatrix}^{-1}= -\frac{1}{15} \begin{bmatrix} -9&3&0\\3&-1&-5\\15&-10&-5\end{bmatrix} \).
Nie wiem jakiej metody was uczono, nie będę mieszał.

Po pomnożeniu macierzy otrzymasz

Odpowiedź: \(X= \frac{1}{5} \begin{bmatrix}8&16&14\\9&3&7\\0&0&0 \end{bmatrix} \)