Podprzestrzeń przestrzeni liniowej

[Eluwinaeeeee]

Dane są dwie podprzestrzenie liniowe \(V,W\) w przestrzeni \(R^4\)
\(V=lin \left\{ v_1, v_2, v_3, v_4\right\} \subset R^4\) gdzie \(v_1=(1,4,-2,2), v_2 = (1,-5,5,0), v_3 = (3,3,1,4), v_4=(5,2,4,6)\)
\(W = lin \left\{w_1,w_2,w_3\right\} \subset R^4\) gdzie \(w_1=(2,-1,3,2), w_2=(-1,2,-1,1), w_3=(2,1,2,3)\)
a) zapisać związek liniowy między wektorami \(v_1,v_2,v_3,v_4\)
b) Sprawdzić czy jedna z tych przestrzeni jest podprzestrzenią drugiej. W przypadku odpowiedzi twierdzącej wyznaczyć relację zawierania między nimi.
Ma ktoś jakiś pomysł?

[panb]

Co to jest "związek liniowy"?

[Eluwinaeeeee]

Sam nie bardzo wiem, głównie mi w sumie chodzi o podpunkt b) Czy jeżeli \(V \subset W\) to wystarczy sprawdzic czy wszystkie wektory z \(V\) da się przedstawić jako kombinacje liniowe wektorów z \(W\)?
np. \(v_1 = \alpha (2,-1,3,2) + \beta (-1,2,-1,1) + \gamma (2,1,2,3)\) i tak dalej z \(v_2\) i \(v_3\) ?

[panb]

Tak.
\(v_1=-3w_1-w_2+3w_3\\
v_2=4w_1+w_2-3w_3\\
v_3=-2w_1-w_2+3w_3\\
v_4=-w_1-w_2+3w_3 \\
V \subset W\)

Z drugiej strony, wektora \(w_2\) nie da się przedstawić jako kombinacji liniowej wektorów \(v_1, v_2, v_3, v_4\).