ortogonalizacja Grama-Schmidta

[izabel_ka]

- ortogonalizacji Grama-Schmidta dla bazy standardowej 1, x, x^2, . . . w przestrzeni \(L \frac{2}{p} = [a, b]\), gdzie p(x) = 1;
(2/p to nie ulamek ale tylko taki zapis tu byl)
- generowanie bazy ortogonalnej w tej przestrzeni;
- Sprawdź ortogonalność wyliczonych baz dla przedziałów [−1, 1] oraz [0, 1]:
* Podaj wartości iloczynów skalarnych elementów bazy;
* Narysuj wykresy otrzymanych elementów bazowych;

bardzo prosze o pomoc

[grdv10]

W przedziale [-1,1] nie trzeba ortogonalizować, bo wiadomo, że ciągiem wielomianów ortogonalnych z wagą jedynkową są wielomiany Legendre'a. Przez proste podstawienie afiniczne można je teraz przetransformować do przedziału [0,1]. Tak więc w pewnym sensie wielomiany ortogonalne nie zależą od przedziału, a bardziej od iloczynu skalarnego (czyli funkcji wagowej).

Jest twierdzenie, że wielomiany ortogonalne są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do współczynnika wiodącego (w pewnym sensie). Można by zażądać a) ortonormalności lub b) unormowania wielomianów (współczynnik wiodący jedynkowy). Wtedy już mamy pełną jednoznaczność.