Rekurencje

[Pitrosin]

Witam,
Mam problem z zadaniami z rekurencji
1.Znaleźć za pomocą równania charakterystycznego wzory jawne podanych niżej
liniowych zależności rekurencyjnych
A)(P)S(0)=2
S(1)=1
(R) S(n)=S(n-1)+6S(n-2)


B)(P) S(0)=0
S(1)=3
(R) S(n)=-2S(n-1)-S(n-2)


C)(P) s(0)=-1
S(1)=-2
(R) S(n)=4s(n-1)-8S(n-2)



2.Rozwiązać rekurencję niejednorodną
(P)S(0)=0
S(1)=3
(R)S(n)=-2S(n-1)-S(n-2)+4^n

[panb]

Witam,
Mam problem z zadaniami z rekurencji
1.Znaleźć za pomocą równania charakterystycznego wzory jawne podanych niżej
liniowych zależności rekurencyjnych
A)(P)S(0)=2
S(1)=1
(R) S(n)=S(n-1)+6S(n-2)

Nie wiem jak to poprawnie powinno być zapisane, ale rozumiem ideę.
\( \begin{cases}S(0)=2\\S(1)=1\\S(n)=S(n-1)+6S(n-2), n=2, 3, ... \end{cases} \)

Niech \(S(n)=a^n \So S(n)=S(n-1)+6S(n-2) \iff a^n=a^{n-1}+6a^{n-2}|:a^{n-2} \So a^2=a+6\\ a^2-a-6=0\,\, (\text{ to jest równanie charkterystyczne}) \iff a_1=3, \,\, a_2=-2 , \text{ więc } \,\, S(n)=a\cdot3^n+b\cdot(-2)^n\)
Parametry a i b znajdziemy korzystając z warunków początkowych:
\( \begin{cases}S(0)=1 \iff a+b=2\\ S(1)=1 \iff 3a-2b=1 \end{cases} \iff a=b=1 \)

Odpowiedź: Podane zależności rekurencyjne spełnia ciąg o wzorze \(S(n)=3^n+(-2)^n\)

[panb]

Witam,
Mam problem z zadaniami z rekurencji
1.Znaleźć za pomocą równania charakterystycznego wzory jawne podanych niżej
liniowych zależności rekurencyjnych
B)(P) S(0)=0
S(1)=3
(R) S(n)=-2S(n-1)-S(n-2)

Równanie charakterystyczne \(a^2=-2a-1 \iff a^2+2a+1=0 \iff (a+1)^2=0\) ma jedno (podwójne) rozwiązanie \(a=-1\), zatem \(S(n)=(a+bn)(-1)^n\). Uwzględniając warunki początkowe
\( \begin{cases}S(0)=0 \iff (a+0)(-1)^0=0 \iff a=0\\ S(1)=3 \iff (0+b)(-1)^1=3 \iff b=-3 \end{cases} \)
Wobec tego

Odpowiedź: \(S(n)=-3n(-1)^n=3n(-1)^{n+1}\)