Wektory, macierze, ciała

[krniasty]

1. W ciele \(ℤ_7\) znaleźć rozwiązania równania kwadratowego.
\(-3x^2 + x + 10 = 0\)

2. Dana jest macierz 𝐴 endomorfizmu 𝑓: \(ℝ^2→ℝ^2 \)w bazie kanonicznej:

A =\( \begin{bmatrix}-3&4 \\ 2&-1\end{bmatrix}\)
Wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych.

3. Sprawdzić, czy układ wektorów jest bazą przestrzeni \(ℝ^3.\)

\( \begin{bmatrix}-2&2&0 \\ 3&2&0 \\ 0&4&0\end{bmatrix}\)

[panb]

3. Sprawdzić, czy układ wektorów jest bazą przestrzeni \(ℝ^3.\)

\( \begin{bmatrix}-2&2&0 \\ 3&2&0 \\ 0&4&0\end{bmatrix}\)

Ponieważ \(\begin{vmatrix}-2&2&0 \\ 3&2&0 \\ 0&4&0\end{vmatrix}=0\), więc ten układ wektorów nie jest bazą.

Nie trzeba tu nic liczyć, bo jest kolumna zer.

[panb]

1. W ciele \(ℤ_7\) znaleźć rozwiązania równania kwadratowego.
\(-3x^2 + x + 10 = 0\)

\(-3x^2 + x + 10 = 0 \iff (x-2)(5+3x)=0 \iff x=2 \vee x=- \frac{5}{3} \)
Zatem mamy rozwiązania:
\( x\equiv2 [\mod 7]\) - tutaj nie ma problemu, każda liczba postaci \(x=7k+2, k\in\zz\) jest rozwiązaniem równania w ciele \(\zz_7\)
Teraz to drugie rozwiązanie.
\(- \frac{5}{3}=-5 \cdot 3^{-1} \) - oczywiście wszystko \(\mod 7\)
Ponieważ \(-5=-1\cdot7+2 \So -5\equiv2[\mod7]\)
\(3^{-1}\) to odwrotność w ciele \(\zz_7\) liczby 3, czyli taka liczba \(x\), że \(3\cdot x\equiv 1[\mod 7]\). W takim razie \( 3^{-1}\equiv5[\mod7] \)
Teraz możemy już zapisać drugie rozwiązanie równania
\(x=- \frac{5}{3} \) w ciele \(\zz_7\) ma postać \(x\equiv 2\cdot5 [\mod7]\equiv 3[\mod 7]\)

Sprawdzenie

• \(x\equiv2[\mod7] \iff x=7k+2, \,\,\, k\in\zz\). Weźmy \(k=-1\), wtedy \(x=-5\) i mamy
  \(-3\cdot(-5)^2-5+10=-70=-10\cdot 7\equiv0[\mod7]\) - czyli OK
• \(x\equiv3[\mod7] \iff x=7k+3,\,\,k\in\zz\). Weźmy \(k=1\), wtedy \(x=10\) i mamy
  \(-3\cdot10^2+10+10=-280=-40\cdot7\equiv0[\mod7]\) też się zgadza.

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania \(-3x^2 + x + 10 = 0 \text{ w ciele } \zz_7\) jest \(x\equiv2 [\mod7]\text{ oraz } x\equiv 3[\mod7]\)

[Jerry]

1. W ciele \(ℤ_7\) znaleźć rozwiązania równania kwadratowego.
\(-3x^2 + x + 10 = 0\)

Albo:
\(w(x)=-3x^2 + x + 10 = -3x^2+6x-5x+10=-3x(x-2)-5(x-2)=-(x-2)(3x+5)\)
\(w(x)=0\iff (x=2\vee 3x=-5)\)
W danym ciele
\(x\equiv2 \ (\mod7)\vee 3x\equiv -5\equiv-12\ (\mod7) \)
\(x\equiv2\ (\mod7)\vee x\equiv-4\ (\mod7)\equiv 3\ (\mod7) \)

Pozdrawiam