Punkt symetryczny względem prostej

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Tarkoczinko
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 20 mar 2020, 15:50
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Punkt symetryczny względem prostej

Post autor: Tarkoczinko »

Znaleźć punkt symetryczny do punktu \(A(2,-1,3)\) względem prostej:
\( \begin{cases} x=3t\\
y=5t-7\\
z=2t+2\end{cases} \)
Ostatnio zmieniony 13 mar 2021, 18:24 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości; "matematykę" pisz w kodzie !!!
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Punkt symetryczny względem prostej

Post autor: panb »

Tarkoczinko pisze: 13 mar 2021, 16:53 Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(2,-1,3) względem prostej:
x=3t
y=5t-7
z=2t+2
Szukamy rzutu punktu A na daną prostą.
Jest to taki punkt A'(3t, 5t-7,2t+2) tej prostej, że wektor \(\vec{AA'}\) jest prostopadły do wektora kierunkowego prostej, czyli \(\vec{k}=[3,5,2]\)
\(\vec{AA'}=[3t-2,5t-7+1,2t+2-3]=[3t-2,5t-6,2t-1]\). Warunek prostopadłości stanowi, że iloczyn skalarny \(\vec{AA'} \circ \vec{k}=0 \iff 3(3t-2)+5(5t-6)+2(2t-1)=0 \So t=1\), więc \(A'(3,-2,4)\).
Szukany punkt P(x,y,z) znajdziemy korzystając z faktu, że A' jest środkiem odcinka AP.
Wobec tego \( \begin{cases} \frac{x+2}{2}=3\\ \frac{y-1}{2}=-2 \\ \frac{z+3}{2}=4 \end{cases} \). Stąd

Odpowiedź: Punkt symetryczny do punktu A(2,-1,3) względem prostej
\( \begin{cases} x=3t\\ y=5t-7\\z=2t+2 \end{cases}\) ma współrzędne (4, -3, 5)

ODPOWIEDZ