Algebra abstrakcyjna - przemienność, łączność, el. neutralny.

[Patrycja987654]

Działanie \( \circ \) jest określone w zbiorze \( \rr ^+ \) wzorem
\(a \circ b\)=\(5^{\log _5 a\cdot\log _5 b}\)

Należy sprawdzić czy jest ono przemienne i łączne oraz znaleźć element neutralny tego działania i wyznaczyć elementy odwrotne do tych liczb \( a \in \rr ^+\) które taki element mają.

[panb]

Działanie \( \circ \) jest określone w zbiorze \( \rr ^+ \) wzorem
\(a \circ b\)=\(5^{\log _5 a\cdot\log _5 b}\)

Należy sprawdzić czy jest ono przemienne i łączne oraz znaleźć element neutralny tego działania i wyznaczyć elementy odwrotne do tych liczb \( a \in \rr ^+\) które taki element mają.

• Przemienność jest oczywista i wynika z przemienności mnożenia: \(a \circ b = 5^{\log_5a \cdot \log_5b}=5^{\log_5b\cdot\log_5a}=b \circ a \)

• Łączność: \(\displaystyle a \circ (b \circ c)=a \circ 5^{\log_5c\cdot\log_5c}=5^{\log_5a\cdot\log_5 \left(5^{\log_5c\cdot\log_5c} \right) }=5^{\log_5a\cdot\log_5b\cdot\log_5c}=5^{\log_55^{\log_5a\log_5b}\cdot\log_5c}=(a \circ b) \circ c\)

• Element neutralny e: \( \forall a\in\rr^+,\,\, a \circ e=a \iff \forall a\in\rr^+,\,\,5^{\log_5a\cdot \log_5e}=5^{\log_5a}\iff \forall a\in\rr^+,\,\,\log_5a(\log_5e-1)=0 \iff e=5\)

• Element odwrotny a': \(a \circ a'=e \iff 5^{\log_5a\cdot \log_5a'}=5^1\iff \log_5a\cdot \log_5a'=1 \So \log_5a'= \frac{1}{\log_5a} =\log_a5\) pod warunkiem, że \(\log_5a\neq0 \iff a\neq1\). \( \forall _{0<a\neq1}\) istnieje element odwrotny \(a'=5^{\log_a5}\)