Zadania z algebry (liczby zespolone, macierze) - pomoc

[jrr]

Witam, prosiłbym o pomoc we wskazaniu poprawnych odpowiedzi (więcej niż jedna może być poprawna) i możliwe o wyjaśnienie dlaczego dokładnie te w tych zadaniach:

1. Metodą macierzową rozwiąż równanie:
\( \begin{bmatrix}1&2 \\ 3&4 \end{bmatrix} \cdot X + X - {\begin{bmatrix}1&3 \\ 2&5 \end{bmatrix}}^T=3 \cdot \begin{bmatrix}-2&1 \\ 1&2 \end{bmatrix} \)

a) \( X = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -37&3 \\ 27&7 \end{bmatrix} \)

b) \( X = \begin{bmatrix} -5&5 \\ 6&11 \end{bmatrix} {\begin{bmatrix} 2&2 \\ 3&5 \end{bmatrix}}^{-1} \)

c) \( \begin{bmatrix} 2&2 \\ 3&5 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} -5&5 \\ 6&11 \end{bmatrix} \)

2. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę: \( z = 2-2 \sqrt{3i} \), a następnie oblicz \( z^3 \)

a) argument główny liczby \( z \) wynosi \( \frac{5}{3}\pi \)

b) \( z^3 = -64 \)

c) \( |z^3| = 64 \)

3. Rozwiąż równanie \( (z^3-i)(z^2-z+5)=0 \)

a) jednym z pierwiastków jest liczba \( -i \)

b) \( z\in \begin{cases} -i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, \frac{1-i\sqrt{19}}{2}+ \frac{1+i\sqrt{19}}{2} \end{cases} \) (prawa klamerka której nie potrafiłem zrobić)

c) równanie ma 5 pierwiastków rzeczywistych

4. Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej \( \frac{i^5\cdot (2+i)}{{(3+2i)^2}} \)

a) \( Rez = \frac{19}{169}, Imz = \frac{22}{169}i \)

b) \( z = \frac{19}{169}+i\frac{22}{169} \)

c) \( Rez = \frac{19}{169}, Imz = \frac{22}{169} \)

W razie gdybym się pomylił i wyniki nie pasowałyby z zadaniem tutaj są zdjęcia zadań:
1 i 2: https://imgur.com/CGAtc2i
3 i 4: https://imgur.com/9vLVIqX

Z góry dziękuje za pomoc.

[panb]

Witam, prosiłbym o pomoc we wskazaniu poprawnych odpowiedzi (więcej niż jedna może być poprawna) i możliwe o wyjaśnienie dlaczego dokładnie te w tych zadaniach:

W razie gdybym się pomylił i wyniki nie pasowałyby z zadaniem tutaj są zdjęcia zadań:
1 i 2: https://imgur.com/CGAtc2i
3 i 4: https://imgur.com/9vLVIqX

Z góry dziękuje za pomoc.

4. Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej \( \frac{i^5\cdot (2+i)}{{(3+2i)^2}} \)

a) \( Rez = \frac{19}{169}, Imz = \frac{22}{169} \)i - niedobrze, przy części urojonej nie ma być i

b) \( z = \frac{19}{169}+i\frac{22}{169} \) - OK

c) \( Rez = \frac{19}{169}, Imz = \frac{22}{169} \) - OK

[panb]

Witam, prosiłbym o pomoc we wskazaniu poprawnych odpowiedzi (więcej niż jedna może być poprawna) i możliwe o wyjaśnienie dlaczego dokładnie te w tych zadaniach:


1 i 2: https://imgur.com/CGAtc2i
3 i 4: https://imgur.com/9vLVIqX

Z góry dziękuje za pomoc.

3. Rozwiąż równanie \( (z^3-i)(z^2-z+5)=0 \)

a) jednym z pierwiastków jest liczba \( -i \) PRAWDA

b) \( z\in \left\{ -i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, \frac{1-i\sqrt{19}}{2}+ \frac{1+i\sqrt{19}}{2} \right\} \) - PRAWDA

c) równanie ma 5 pierwiastków rzeczywistych - NIEPRAWDA, PIERWIASTKI NIE SĄ RZECZYWISTE

[panb]

Witam, prosiłbym o pomoc we wskazaniu poprawnych odpowiedzi (więcej niż jedna może być poprawna) i możliwe o wyjaśnienie dlaczego dokładnie te w tych zadaniach:

W razie gdybym się pomylił i wyniki nie pasowałyby z zadaniem tutaj są zdjęcia zadań:
1 i 2: https://imgur.com/CGAtc2i
3 i 4: https://imgur.com/9vLVIqX

Z góry dziękuje za pomoc

2. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę: \( z = 2-2 \sqrt{3i} \), a następnie oblicz \( z^3 \)

a) argument główny liczby \( z \) wynosi \( \frac{5}{3}\pi \) - PRAWDA

b) \( z^3 = -64 \) -PRAWDA

c) \( |z^3| = 64 \) -PRAWDA


.

[panb]

Witam, prosiłbym o pomoc we wskazaniu poprawnych odpowiedzi (więcej niż jedna może być poprawna) i możliwe o wyjaśnienie dlaczego dokładnie te w tych zadaniach:
W razie gdybym się pomylił i wyniki nie pasowałyby z zadaniem tutaj są zdjęcia zadań:
1 i 2: https://imgur.com/CGAtc2i
3 i 4: https://imgur.com/9vLVIqX

Z góry dziękuje za pomoc.

1. Metodą macierzową rozwiąż równanie:
\( \begin{bmatrix}1&2 \\ 3&4 \end{bmatrix} \cdot X + X - {\begin{bmatrix}1&3 \\ 2&5 \end{bmatrix}}^T=3 \cdot \begin{bmatrix}-2&1 \\ 1&2 \end{bmatrix} \)

a) \( X = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -37&3 \\ 27&7 \end{bmatrix} \) .................PRAWDA

b) \( X = \begin{bmatrix} -5&5 \\ 6&11 \end{bmatrix} {\begin{bmatrix} 2&2 \\ 3&5 \end{bmatrix}}^{-1} \) - NIEPRAWDA
Poprawnie powinno być: \( X = {\begin{bmatrix} 2&2 \\ 3&5 \end{bmatrix}}^{-1} \begin{bmatrix} -5&5 \\ 6&11 \end{bmatrix} \)

c) \( \begin{bmatrix} 2&2 \\ 3&5 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} -5&5 \\ 6&11 \end{bmatrix} \) - PRAWDA