Wektory własne, macierz przejścia

[LukOThePolak]

Wartościami własnymi pewnej macierzy A stopnia trzeciego są liczby \(\lambda_{1}=-1\), \(\lambda_{2}=2\), \(\lambda_{3}=-2\), a odpowiadającymi im wektorami własnymi są \(X_{1}=\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}\),\(X_{2}=\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}\), \(X_{3}=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\). Znajdź macierz przejścia P, a następnie oblicz \(A^{10}\).
Wiem, że mając wartości własne i wektory własne macierzy powinienem zacząć od wyznaczenia macierzy A. Nie mam pomysłu w jaki sposób mógłbym to zrobić. Proszę o pomoc i możliwe wytłumaczenie krok po kroku rozwiązania. Z góry dziękuję.

[panb]

Wartościami własnymi pewnej macierzy A stopnia trzeciego są liczby \(\lambda_{1}=-1\), \(\lambda_{2}=2\), \(\lambda_{3}=-2\), a odpowiadającymi im wektorami własnymi są \(X_{1}=\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}\),\(X_{2}=\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}\), \(X_{3}=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\). Znajdź macierz przejścia P, a następnie oblicz \(A^{10}\).
Wiem, że mając wartości własne i wektory własne macierzy powinienem zacząć od wyznaczenia macierzy A. Nie mam pomysłu w jaki sposób mógłbym to zrobić. Proszę o pomoc i możliwe wytłumaczenie krok po kroku rozwiązania. Z góry dziękuję.

Macierz A znajdziesz rozwiązując 9 (łatwych) równań z dziewięcioma niewiadomymi: \(AX_i=\lambda_iX_i,\,\,\, i=1, 2, 3\)
Jeśli \(A= \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix} \), to pierwsze równanie \(AX_1=\lambda_1X_1 \iff \begin{cases}2a+c=-2\\2d+f=0\\2g+i=-1 \end{cases} \).
Jeśli się nie pomylisz, to wyjdzie \[A= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & -3\\0&-2&0\\ -\frac{3}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \]

[panb]

Drugi krok, to znalezienie macierzy diagonalnej \(D=P^{-1}AP\), gdzie P jest macierzą zbudowana z kolumn wektorów własnych: \(P= \begin{bmatrix}2&2&1\\0&0&1\\1&-1&0 \end{bmatrix} \)

Dasz radę?

Potem już łatwo policzysz \(A^{10}=PD^{10}P^{-1}\).

[LukOThePolak]

Teraz na pewno dam radę;) Bardzo dziękuję za wyjaśnienie.