Cześć, potrzebuję pomocy z tym problemem, próbowałem przez indukcję, ale utknąłem na etapie indukcyjnym; (czy ktoś może mi pomóc?
- Niech A macierz symetryczną rzędu n, jeśli A jest dodatnia, dowód, że dla dowolnej liczby całkowitej k dodatniej istnieje macierz symetryczna B taka, że A = Bk.
Problem algebry liniowej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
judygrear94
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 11 lut 2021, 06:42
- Płeć:
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1505
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: Problem algebry liniowej
Korzystamy z twierdzenia spektralnego dla macierzy \( A \) symetrycznej - dodatniej
" Niech \( A \) będzie \( d\times d \) macierzą symetryczną - dodatnią. Wówczas istnieją: ortogonalna \( U \) i diagonalna rzeczywista macierz \( D \), taka że
\( A = U\cdot D \cdot U^{T}." \)
Niech \( B \) będzie symetryczną - dodatnią macierzą. Wówczas na podstawie twierdzenia spektralnego
\( B = U'\cdot D' \cdot U'^{T}\)
Niech \( k \) będzie dowolną całkowitą liczbą dodatnią, wówczas
\( B\cdot k = U'\cdot D' \cdot U'^{T}\cdot k = \sqrt{k}\cdot U' \cdot D' \cdot \sqrt{k}\cdot U'^{T} = U\cdot D \cdot U^{T} = A \)
gdzie:
\( U = \sqrt{k}\cdot U' .\)
\( \Box \)
" Niech \( A \) będzie \( d\times d \) macierzą symetryczną - dodatnią. Wówczas istnieją: ortogonalna \( U \) i diagonalna rzeczywista macierz \( D \), taka że
\( A = U\cdot D \cdot U^{T}." \)
Niech \( B \) będzie symetryczną - dodatnią macierzą. Wówczas na podstawie twierdzenia spektralnego
\( B = U'\cdot D' \cdot U'^{T}\)
Niech \( k \) będzie dowolną całkowitą liczbą dodatnią, wówczas
\( B\cdot k = U'\cdot D' \cdot U'^{T}\cdot k = \sqrt{k}\cdot U' \cdot D' \cdot \sqrt{k}\cdot U'^{T} = U\cdot D \cdot U^{T} = A \)
gdzie:
\( U = \sqrt{k}\cdot U' .\)
\( \Box \)