Jak dojść do postaci trygonometrycznej takiej liczby zespolonej? :
\(\sqrt{2+\sqrt{3} } - i \sqrt{2- \sqrt{3} } \)
Wiem jak policzyć moduł, ale przy funkcjach głupieje.
Liczby zespolone - postać trygonometryczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 24
- Rejestracja: 26 lis 2020, 13:38
- Podziękowania: 13 razy
- Płeć:
- Jerry
- Expert
- Posty: 3459
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1898 razy
Re: Liczby zespolone - postać trygonometryczna
Dla zainteresowanych:
\(1^\circ\ {\sqrt{2+\sqrt3}\over2}=\frac{\sqrt{3+2\sqrt3+1}}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt{(\sqrt3+1)^2}}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}={\sqrt2\over2}\cdot{\sqrt3\over3}+{\sqrt2\over2}\cdot{1\over2}=\\ \qquad= \cos\left({\pi\over4}-{\pi\over6}\right)=\cos{\pi\over12}\)
\(2^\circ\ \sin{\pi\over12}=+\sqrt{1-\cos^2{\pi\over12}}=\cdots={\sqrt{2-\sqrt3}\over2}\)
Zatem, w rozpatrywanym zadaniu,
\(\sqrt{2+\sqrt{3} } - i \sqrt{2- \sqrt{3} }=2\cdot\left(\cos{\pi\over12}-i\sin{\pi\over12}\right)=2\cdot\left(\cos{23\pi\over12}+i\sin{23\pi\over12}\right) \)
Pozdrawiam
\(1^\circ\ {\sqrt{2+\sqrt3}\over2}=\frac{\sqrt{3+2\sqrt3+1}}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt{(\sqrt3+1)^2}}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}={\sqrt2\over2}\cdot{\sqrt3\over3}+{\sqrt2\over2}\cdot{1\over2}=\\ \qquad= \cos\left({\pi\over4}-{\pi\over6}\right)=\cos{\pi\over12}\)
\(2^\circ\ \sin{\pi\over12}=+\sqrt{1-\cos^2{\pi\over12}}=\cdots={\sqrt{2-\sqrt3}\over2}\)
Zatem, w rozpatrywanym zadaniu,
\(\sqrt{2+\sqrt{3} } - i \sqrt{2- \sqrt{3} }=2\cdot\left(\cos{\pi\over12}-i\sin{\pi\over12}\right)=2\cdot\left(\cos{23\pi\over12}+i\sin{23\pi\over12}\right) \)
Pozdrawiam