Zaznaczyć a płaszczyźnie zbór punktów spełniających warunek:
a)\( |z-2|=2|z+3i|\)
b) \(Re \frac{z-1}{z+1} <0\)
c) \(0 < arg z^3< \frac{\pi}{2}\)
zbiór punktów na płaszczyźnie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: zbiór punktów na płaszczyźnie
\(|x+yi-2|=2|x+yi+3i|\\
(x-2)^2+y^2=4(x^2+(y+3)^2)\\
x^2-4x+4+y^2=4x^2+4y^2+24y+36\\
3x^2+3y^2+4x+24y+32=0\\
x^2+y^2+\frac{4}{3}x+8y+\frac{32}{3}=0\\
(x+\frac{2}{3})^2+(y+4)^2=\frac{52}{9}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1544
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 407 razy
Re: zbiór punktów na płaszczyźnie
a)
\( |z-2|= 2|z +3i| \)
\( z = x +iy \)
\( |(x-2) +iy|= 2|x + (3+y)i| \)
\( (x -2)^2 +y^2 = 2[x^2 + (3+y)^2] \)
\( x^2 -4x +4 +y^2 = 2x^2 +18 +12y +2y^2 \)
\( x^2 + 4x +y^2 +12y +14 = 0 \)
\( (x+2)^2 + (y + 6)^2 = 26 \)
Okrąg o środku w punkcie \( ( -2, -6i) \) i promieniu \( \sqrt{26}. \)
b)
rozwiązujemy podobnie, uwzględniając część rzeczywistą liczby zespolonej \( \frac{z-1}{z+1}, \) którą sprowadzamy do postaci algebraicznej \( w = x + iy.\)
c)
\( 0 < \arg (z^3) < \frac{\pi}{2} \)
Z własności argumentu liczb zespolonej
\( 0 < 3\arg(z) + 2k\pi < \frac{\pi}{2}, \ \ k\in \zz \)
\( 0 < \arg(z) + \frac{2}{3}k \pi < \frac{\pi}{6} \)
\( 0 +\frac{2}{3} k\pi < \arg (z) < \frac{\pi}{6} +\frac{2}{3} k\pi , \ \ k\in \zz \)
\( k= 0 \)
\( 0 \leq \arg(z) < \frac{\pi}{6} \)
Część płaszczyzny zespolonej zawartej między osią \( Ox \) a ramieniem kąta (linia przerywana) \( \frac{\pi}{6} \)
(stożek płaski otwarty o kącie rozwarcia \( \frac{\pi}{6} \))
\( k =1 \)
\( \frac{2}{3}\pi \leq \arg(z) < \frac{5}{6}\pi \)
Stożek płaski otwarty o kącie rozwarcia \( \frac{\pi}{6} \) obrócony względem stożka pierwszego o kąt \( \frac{2}{3}\pi \) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
\( k = 2 \)
\( \frac{4}{3}{\pi} \leq \arg(z) < \frac{9}{6}\pi = \frac{3}{2}\pi \)
Stożek płaski otwarty o kącie rozwarcia \( \frac{\pi}{6} \) obrócony względem stożka drugiego o kąt \( \frac{2}{3}\pi \) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
\( |z-2|= 2|z +3i| \)
\( z = x +iy \)
\( |(x-2) +iy|= 2|x + (3+y)i| \)
\( (x -2)^2 +y^2 = 2[x^2 + (3+y)^2] \)
\( x^2 -4x +4 +y^2 = 2x^2 +18 +12y +2y^2 \)
\( x^2 + 4x +y^2 +12y +14 = 0 \)
\( (x+2)^2 + (y + 6)^2 = 26 \)
Okrąg o środku w punkcie \( ( -2, -6i) \) i promieniu \( \sqrt{26}. \)
b)
rozwiązujemy podobnie, uwzględniając część rzeczywistą liczby zespolonej \( \frac{z-1}{z+1}, \) którą sprowadzamy do postaci algebraicznej \( w = x + iy.\)
c)
\( 0 < \arg (z^3) < \frac{\pi}{2} \)
Z własności argumentu liczb zespolonej
\( 0 < 3\arg(z) + 2k\pi < \frac{\pi}{2}, \ \ k\in \zz \)
\( 0 < \arg(z) + \frac{2}{3}k \pi < \frac{\pi}{6} \)
\( 0 +\frac{2}{3} k\pi < \arg (z) < \frac{\pi}{6} +\frac{2}{3} k\pi , \ \ k\in \zz \)
\( k= 0 \)
\( 0 \leq \arg(z) < \frac{\pi}{6} \)
Część płaszczyzny zespolonej zawartej między osią \( Ox \) a ramieniem kąta (linia przerywana) \( \frac{\pi}{6} \)
(stożek płaski otwarty o kącie rozwarcia \( \frac{\pi}{6} \))
\( k =1 \)
\( \frac{2}{3}\pi \leq \arg(z) < \frac{5}{6}\pi \)
Stożek płaski otwarty o kącie rozwarcia \( \frac{\pi}{6} \) obrócony względem stożka pierwszego o kąt \( \frac{2}{3}\pi \) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
\( k = 2 \)
\( \frac{4}{3}{\pi} \leq \arg(z) < \frac{9}{6}\pi = \frac{3}{2}\pi \)
Stożek płaski otwarty o kącie rozwarcia \( \frac{\pi}{6} \) obrócony względem stożka drugiego o kąt \( \frac{2}{3}\pi \) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.