Macierze
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
ProveAllEvery
- Dopiero zaczynam
- Posty: 17
- Rejestracja: 23 lut 2020, 11:59
- Podziękowania: 5 razy
- Płeć:
Macierze
Wiedząc , że \(A+A^{-1}=\begin{bmatrix}-2 & 1 & 3\\0& 1 & -1\\0& 0& 1\\\end{bmatrix}\) obliczyć \(A^{-3}+A^3\)
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Macierze
Weź analogię z liczbami. Jeśli \(x+\frac{1}{x}=b\), to \(b^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2,\) więc \(\frac{x^2}+\frac{1}{x^2}=b^2-2\) i potem podobnie z trzecią potęgą.
A teraz do macierzy.
Niech \(B\) będzie tą konkretną macierzą. Będziemy mieli \((A+A^{-1})^2=B^2,\) więc \(A^2+A^{-2}+2I=B^2\), czyli \(A^2+A^{-2}=B^2-2I.\) Podobnie podnieś do trzeciej potęgi:\[B^3=(A+A^{-1})^3=A^3+A^{-3}+3A^2A^{-1}+3AA^{-2}=A^3+A^{-3}+3(A+A^{-1}).\]Dokończ to. Kroku z kwadratem widać tu nie trzeba, ale jest pouczający co do metody.
A teraz do macierzy.
Niech \(B\) będzie tą konkretną macierzą. Będziemy mieli \((A+A^{-1})^2=B^2,\) więc \(A^2+A^{-2}+2I=B^2\), czyli \(A^2+A^{-2}=B^2-2I.\) Podobnie podnieś do trzeciej potęgi:\[B^3=(A+A^{-1})^3=A^3+A^{-3}+3A^2A^{-1}+3AA^{-2}=A^3+A^{-3}+3(A+A^{-1}).\]Dokończ to. Kroku z kwadratem widać tu nie trzeba, ale jest pouczający co do metody.