Witam, potrzebuję pomocy z dowodem zadania:
Udowodnić, że jeśli \(a_1,...,a_n\) są parami różnymi liczbami całkowitymi, to wielomian \(f(X)=(X-a_1)\cdot...\cdot(X-a_n)-1\) jest nierozkładalny w pierścieniu \(Z[X]\).
Dowód, że wielomian jest nierozkładalny w pierścieniu Z[X]
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
carmela1302
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 28 sty 2021, 13:07
Dowód, że wielomian jest nierozkładalny w pierścieniu Z[X]
Ostatnio zmieniony 28 sty 2021, 13:52 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości; formy matematyczne pisz w kodzie!
Powód: poprawa wiadomości; formy matematyczne pisz w kodzie!
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1505
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: Dowód, że wielomian jest nierozkładalny w pierścieniu Z[X]
Dowód (nie wprost)
Załóżmy, że \( f = g\cdot h, \ \ g, h \in \zz(X) \) i \( 0 < st(g), \ \ st(h) < n.\)
Dla dowolnego \( i \in\{1,2,...,n\} \) z zależności \( g(a_{i}) , \ \ h(a_{i}) \in \zz \) oraz \( g(a_{i})\cdot h(a_{i}) = -1 \) wynika, że \( g(a_{i}) + h(a_{i}) = 0, \)
Zatem wielomian \( g + h \) stopnia mniejszego niż \( n \) ma przynajmniej \( n \) pierwiastków.
Musi więc zachodzić równość \( g + h = 0, \) z której wynika, że \( g = -h.\)
Wobec tego \( f = -h \cdot h = -h^2, \) co jest niemożliwe.
\( \Box \)
Załóżmy, że \( f = g\cdot h, \ \ g, h \in \zz(X) \) i \( 0 < st(g), \ \ st(h) < n.\)
Dla dowolnego \( i \in\{1,2,...,n\} \) z zależności \( g(a_{i}) , \ \ h(a_{i}) \in \zz \) oraz \( g(a_{i})\cdot h(a_{i}) = -1 \) wynika, że \( g(a_{i}) + h(a_{i}) = 0, \)
Zatem wielomian \( g + h \) stopnia mniejszego niż \( n \) ma przynajmniej \( n \) pierwiastków.
Musi więc zachodzić równość \( g + h = 0, \) z której wynika, że \( g = -h.\)
Wobec tego \( f = -h \cdot h = -h^2, \) co jest niemożliwe.
\( \Box \)