Macierz odwzorowania liniowego

[m4rc3ll]

W przestrzeni \(R^4 \)dana jest macierz \(P\) przejścia z bazy kanonicznej \(B_k\)
do bazy \(B'\)


\(P =\) \( \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 & 0 \\ 1 & -1& 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0& -1 &-1 \end{bmatrix} \)

\(a)\) Znaleźć bazę \(B'\)
\(b)\)Wyznaczyć macierz przejścia z bazy \(B'\) do \(B_k\)
\(c)\) Wyznaczyć współrzędne wektora \(u = (1; 1; 1; 1) \)w bazie \(B\)'.


Ogólnie problem jest prawie z wszystkim, więc prosił bym o rozwiązanie A do Z jak to uczestnicy forum mają w zwyczaju

[panb]

W przestrzeni \(R^4 \)dana jest macierz \(P\) przejścia z bazy kanonicznej \(B_k\)
do bazy \(B'\)


\(P =\) \( \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 & 0 \\ 1 & -1& 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0& -1 &-1 \end{bmatrix} \)

\(a)\) Znaleźć bazę \(B'\)

Ogólnie problem jest prawie z wszystkim, więc prosił bym o rozwiązanie A do Z jak to uczestnicy forum mają w zwyczaju

To prosta sprawa, a dużo pisania. \(B'=\{e_1', e_2', e_3', e_4'\} \text{ gdzie } e_i'=P \cdot e_i\)
\(e_1=(1,0,0,0) \So e_1'= \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 & 0 \\ 1 & -1& 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0& -1 &-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\1\\0\\0 \end{bmatrix} \) i już widać jak to działa
\[B'=\{(1,1,0,0), 0,-1,1,0), (0,1,0,-1), (0,0,-1,-1)\}\]

[panb]

W przestrzeni \(R^4 \)dana jest macierz \(P\) przejścia z bazy kanonicznej \(B_k\)
do bazy \(B'\)


\(P =\) \( \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 & 0 \\ 1 & -1& 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0& -1 &-1 \end{bmatrix} \)

\(a)\) Znaleźć bazę \(B'\)
\(b)\)Wyznaczyć macierz przejścia z bazy \(B'\) do \(B_k\)
\(c)\) Wyznaczyć współrzędne wektora \(u = (1; 1; 1; 1) \)w bazie \(B\)'.


Ogólnie problem jest prawie z wszystkim, więc prosił bym o rozwiązanie A do Z jak to uczestnicy forum mają w zwyczaju

Skoro \(e_i'=P \cdot e_i \So e_i=P^{-1}e_i'\) i tu pytanie. Jaka metodą liczyliście macierz odwrotną?

[m4rc3ll]

W przestrzeni \(R^4 \)dana jest macierz \(P\) przejścia z bazy kanonicznej \(B_k\)
do bazy \(B'\)


\(P =\) \( \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 & 0 \\ 1 & -1& 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0& -1 &-1 \end{bmatrix} \)

\(a)\) Znaleźć bazę \(B'\)
\(b)\)Wyznaczyć macierz przejścia z bazy \(B'\) do \(B_k\)
\(c)\) Wyznaczyć współrzędne wektora \(u = (1; 1; 1; 1) \)w bazie \(B\)'.


Ogólnie problem jest prawie z wszystkim, więc prosił bym o rozwiązanie A do Z jak to uczestnicy forum mają w zwyczaju

Skoro \(e_i'=P \cdot e_i \So e_i=P^{-1}e_i'\) i tu pytanie. Jaka metodą liczyliście macierz odwrotną?

Wedle tego uogólnionego wzoru \(A^{-1} = \frac{1}{IAI}*(A^D)^T \), a czemu Pan pyta?

[panb]

No, bo tutaj trzeba policzyć \(P^{-1}\)

[m4rc3ll]

Czyli punkt b) polega na wyznaczeniu macierzy odwrotnej i przemnożeniu jej odpowiednio przez zbiór \(B'=\{e_1', e_2', e_3', e_4'\}\)

[panb]

Nie, no mnożyć nie musisz, bo (jeśli dobrze policzysz) wyjdzie baza kanoniczna. Pytają o macierz, no nie.
Jak ją znajdziesz, to pomnożysz, przez u i masz podpunkt c).