Skonstruować przykładowe odwzorowania liniowe

[m4rc3ll]

Skonstruować przykładowe odwzorowania liniowe \(f\) zakładając, że:
a) \(Kerf = lin{(1;1;0); (-1; 1; 0)}, \)
b) \(Kerf = {(x; 0) : x \in R}\)

[panb]

Skonstruować przykładowe odwzorowania liniowe \(f\) zakładając, że:
a) \(Kerf = lin{(1;1;0); (-1; 1; 0)}, \)

\(f(x,y,z)=(z,2z,3z)\)

W ten deseń do b) sam pewnie wymyślisz.

[m4rc3ll]

Skonstruować przykładowe odwzorowania liniowe \(f\) zakładając, że:
a) \(Kerf = lin{(1;1;0); (-1; 1; 0)}, \)

\(f(x,y,z)=(z,2z,3z)\)

W ten deseń do b) sam pewnie wymyślisz.

Proszę wybaczyć, lecz nie robiłem zadań tego typu. Na oko widzę, że jest tutaj jakaś funkcja, endomorfizm. Mógłby mi Pan napisać ogół ideii?

[panb]

Nie napisałeś, że potrzebne uzasadnienie

\(e_1=(1,0,0),\,\,\, e_2=(0,1,0),\,\,\, e_3=(0,0,1)\\
(1,1,0)=e_1+e_2,\,\,\, (-1,1,0)=e_1-e_2\\
0=f(1,1,0)=f(e_1)+f(e_2) \wedge 0=f(1,-1,0)=f(e_1)-f(e_2) \So f(e_1)=f(e_2)=0\\
0\ne f(e_3)= f(0,0,1)= \text{ cokolwiek niezależnego od (1,1,0) i (1,-1,0) np. (1,1,1) albo (1,2,3)}\\
\text{ Stąd } f(x,y,z)=(z,2z,3z) \\

f(x,y,z)=0\iff(z,2z,3z)=(0,0,0) \iff z=0\)

[m4rc3ll]

Mógłbym prosić jeszcze o dodanie komentarzy, najlepiej "Step by step"? Z czystych obliczeń dedukuje, że szukamy, odwzorowania, które będzie niezależne od \( f(0,0,1) \wedge f(1,-1,0)\)

[panb]

Nie, dobre będzie każde odwzorowanie, które spełnia warunek \(f(0,0,1)\ne(0,0,0)\) oraz \(f(0,0,1)\) jest wektorem niezależnym od \((1,1,0) \text{ i } (1,-1,0)\).
Żeby była niezależność wystarczy, żeby trzecia współrzędna \(f(0,0,1)\) była niezerowa.

W drugim zadaniu można zapisać, że \(Ker f=Lin\{(1,0)\}\)

Nie szukaj tu głębi, spróbuj z podpunktem b).

[m4rc3ll]

Czyli w drugim zdanku mogło by być

\(f(x,y,)=(y,2y)\)
\(f(x,y)=0\iff(y,2y)=(0,0) \iff y=0\)
?

[panb]

Tak jest!!!