Mam macierz \(\begin{vmatrix}0 &0&1\\ 0 &2&0\\4 &0&0\end{vmatrix}\)
I co ciekawe według moich obliczeń, raz istnieje baza wektorów własnych drugim razem natomiast nie.
Tak samo podaje wolframealpha oraz matrixcalc.org/pl/
Natomiast symbolab i jeszcze dwa inne kalkulatory podają, że nie istnieje baza wektorów własnych.
I już sam nie wiem co myśleć...
Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie
No, co ty. Są 3 wartości własne (-2, -2 i 2) i trzy wektory własne.
Te wektory są liniowo niezależne, więc stanowią bazę.
Te wektory są liniowo niezależne, więc stanowią bazę.
-
- Fachowiec
- Posty: 1427
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 387 razy
Re: Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie
\( det \left[ \begin{matrix} -\lambda & 0 & 1\\ 0, & 2 -\lambda & 0 \\ 4 & 0 & -\lambda \end{matrix} \right] = 0 \)
Rozwijając wyznacznik na przykład według pierwszego wiersza
\( -\lambda\cdot det \left[ \begin{matrix} 2 -\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda \end{matrix} \right] + 1 \cdot det \left[ \begin{matrix} 0 & 2-\lambda \\ 4 & 0 \end{matrix} \right ] =\\ \qquad= \lambda\cdot ( 2-\lambda)\cdot \lambda -4\cdot (2-\lambda) = (2-\lambda)(\lambda^2 -4)=(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda +2). \)
\( \lambda_{1} = 2, \ \ \lambda_{2} = 2, \ \ \lambda_{3} = -2. \)
Rozwijając wyznacznik na przykład według pierwszego wiersza
\( -\lambda\cdot det \left[ \begin{matrix} 2 -\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda \end{matrix} \right] + 1 \cdot det \left[ \begin{matrix} 0 & 2-\lambda \\ 4 & 0 \end{matrix} \right ] =\\ \qquad= \lambda\cdot ( 2-\lambda)\cdot \lambda -4\cdot (2-\lambda) = (2-\lambda)(\lambda^2 -4)=(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda +2). \)
\( \lambda_{1} = 2, \ \ \lambda_{2} = 2, \ \ \lambda_{3} = -2. \)
Ostatnio zmieniony 21 sty 2021, 11:04 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu; nowa linia \\
Powód: poprawa kodu; nowa linia \\
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie
Czyli dostajemy bazę wektorów własnych? Bo dla dwójki dostajemy płaszczyznę niezmienniczą.janusz55 pisze: ↑21 sty 2021, 09:43 \( det \left[ \begin{matrix} -\lambda & 0 & 1\\ 0, & 2 -\lambda & 0 \\ 4 & 0 & -\lambda \end{matrix} \right] = 0 \)
Rozwijając wyznacznik na przykład według pierwszego wiersza
\( -\lambda\cdot det \left[ \begin{matrix} 2 -\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda \end{matrix} \right] + 1 \cdot det \left[ \begin{matrix} 0 & 2-\lambda \\ 4 & 0 \end{matrix} \right ] =\\ \qquad= \lambda\cdot ( 2-\lambda)\cdot \lambda -4\cdot (2-\lambda) = (2-\lambda)(\lambda^2 -4)=(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda +2). \)
\( \lambda_{1} = 2, \ \ \lambda_{2} = 2, \ \ \lambda_{3} = -2. \)
-
- Fachowiec
- Posty: 1427
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 387 razy
Re: Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie
Proszę nie mylić wartości własnych macierzy z odpowiadającymi jej wektorami własnymi.
Wektory własne są pierwiastkami jądra
\( \ker(A - \lambda_{i} I) , \ \ i =1, 2,... \)
Na przykład dla wartości własnej \( \lambda_{1} = -2 \) otrzymujemy:
\( \ker( A - (-2)I) = \ker\left( \left [\begin{matrix} 2 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \right)\)
\( \begin{cases} 2a + 0b + 1c = 0 \\ 0a +4b + 0c = 0 \\ 4a + 0b + 2c = 0 \end{cases} \)
Z równania drugiego \( b = 0. \)
Z równania pierwszego lub trzeciego \( c = -2a \)
Stąd
\( \left[ \begin{matrix} a \\ 0 \\ -2a \end{matrix} \right] = a \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right ], \ \ a\in\rr \)
Otrzymaliśmy bazowy wektor własny odpowiadający wartości własnej \( \lambda_{1} = -2.\)
Co możemy zapisać
\( \ker( A - (-2)I) = \ker \left( \left [\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \right)= lin\left ( \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right] \right) \)
Podobnie postępując proszę znaleźć pozostałe dwa wektory własne macierzy \( A , \) odpowiadające wartości własnej \( \lambda_{2} = \lambda_{3} = 2. \)
Wektory własne są pierwiastkami jądra
\( \ker(A - \lambda_{i} I) , \ \ i =1, 2,... \)
Na przykład dla wartości własnej \( \lambda_{1} = -2 \) otrzymujemy:
\( \ker( A - (-2)I) = \ker\left( \left [\begin{matrix} 2 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \right)\)
\( \begin{cases} 2a + 0b + 1c = 0 \\ 0a +4b + 0c = 0 \\ 4a + 0b + 2c = 0 \end{cases} \)
Z równania drugiego \( b = 0. \)
Z równania pierwszego lub trzeciego \( c = -2a \)
Stąd
\( \left[ \begin{matrix} a \\ 0 \\ -2a \end{matrix} \right] = a \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right ], \ \ a\in\rr \)
Otrzymaliśmy bazowy wektor własny odpowiadający wartości własnej \( \lambda_{1} = -2.\)
Co możemy zapisać
\( \ker( A - (-2)I) = \ker \left( \left [\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \right)= lin\left ( \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right] \right) \)
Podobnie postępując proszę znaleźć pozostałe dwa wektory własne macierzy \( A , \) odpowiadające wartości własnej \( \lambda_{2} = \lambda_{3} = 2. \)