Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
damian28102000
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 128
Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
Podziękowania: 144 razy
Płeć:
Kontakt:

Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie

Post autor: damian28102000 »

Mam macierz \(\begin{vmatrix}0 &0&1\\ 0 &2&0\\4 &0&0\end{vmatrix}\)
I co ciekawe według moich obliczeń, raz istnieje baza wektorów własnych drugim razem natomiast nie.
Tak samo podaje wolframealpha oraz matrixcalc.org/pl/
Natomiast symbolab i jeszcze dwa inne kalkulatory podają, że nie istnieje baza wektorów własnych.
I już sam nie wiem co myśleć...
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1427
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 387 razy

Re: Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie

Post autor: janusz55 »

Pokaż obliczenia.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie

Post autor: panb »

No, co ty. Są 3 wartości własne (-2, -2 i 2) i trzy wektory własne.
Te wektory są liniowo niezależne, więc stanowią bazę.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1427
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 387 razy

Re: Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie

Post autor: janusz55 »

\( det \left[ \begin{matrix} -\lambda & 0 & 1\\ 0, & 2 -\lambda & 0 \\ 4 & 0 & -\lambda \end{matrix} \right] = 0 \)

Rozwijając wyznacznik na przykład według pierwszego wiersza

\( -\lambda\cdot det \left[ \begin{matrix} 2 -\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda \end{matrix} \right] + 1 \cdot det \left[ \begin{matrix} 0 & 2-\lambda \\ 4 & 0 \end{matrix} \right ] =\\ \qquad= \lambda\cdot ( 2-\lambda)\cdot \lambda -4\cdot (2-\lambda) = (2-\lambda)(\lambda^2 -4)=(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda +2). \)

\( \lambda_{1} = 2, \ \ \lambda_{2} = 2, \ \ \lambda_{3} = -2. \)
Ostatnio zmieniony 21 sty 2021, 11:04 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu; nowa linia \\
Awatar użytkownika
damian28102000
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 128
Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
Podziękowania: 144 razy
Płeć:
Kontakt:

Re: Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie

Post autor: damian28102000 »

janusz55 pisze: 21 sty 2021, 09:43 \( det \left[ \begin{matrix} -\lambda & 0 & 1\\ 0, & 2 -\lambda & 0 \\ 4 & 0 & -\lambda \end{matrix} \right] = 0 \)

Rozwijając wyznacznik na przykład według pierwszego wiersza

\( -\lambda\cdot det \left[ \begin{matrix} 2 -\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda \end{matrix} \right] + 1 \cdot det \left[ \begin{matrix} 0 & 2-\lambda \\ 4 & 0 \end{matrix} \right ] =\\ \qquad= \lambda\cdot ( 2-\lambda)\cdot \lambda -4\cdot (2-\lambda) = (2-\lambda)(\lambda^2 -4)=(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda +2). \)

\( \lambda_{1} = 2, \ \ \lambda_{2} = 2, \ \ \lambda_{3} = -2. \)
Czyli dostajemy bazę wektorów własnych? Bo dla dwójki dostajemy płaszczyznę niezmienniczą.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1427
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 387 razy

Re: Raz wychodzi baza wektorów własnych, a raz nie

Post autor: janusz55 »

Proszę nie mylić wartości własnych macierzy z odpowiadającymi jej wektorami własnymi.

Wektory własne są pierwiastkami jądra

\( \ker(A - \lambda_{i} I) , \ \ i =1, 2,... \)

Na przykład dla wartości własnej \( \lambda_{1} = -2 \) otrzymujemy:

\( \ker( A - (-2)I) = \ker\left( \left [\begin{matrix} 2 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \right)\)

\( \begin{cases} 2a + 0b + 1c = 0 \\ 0a +4b + 0c = 0 \\ 4a + 0b + 2c = 0 \end{cases} \)

Z równania drugiego \( b = 0. \)

Z równania pierwszego lub trzeciego \( c = -2a \)

Stąd

\( \left[ \begin{matrix} a \\ 0 \\ -2a \end{matrix} \right] = a \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right ], \ \ a\in\rr \)

Otrzymaliśmy bazowy wektor własny odpowiadający wartości własnej \( \lambda_{1} = -2.\)

Co możemy zapisać

\( \ker( A - (-2)I) = \ker \left( \left [\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \right)= lin\left ( \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right] \right) \)

Podobnie postępując proszę znaleźć pozostałe dwa wektory własne macierzy \( A , \) odpowiadające wartości własnej \( \lambda_{2} = \lambda_{3} = 2. \)
ODPOWIEDZ