Wektory własne

[m4rc3ll]

Dana jest macierz \(A\) endomorfizm \(f\) przestrzeni \(c^4\) nad ciałem \(C\) w bazie
kanonicznej:

\(A = \) \( \begin{bmatrix} 1-i & 0 & 2i & 0 \\ 0 & 1-i & 2i & 0 \\ 0 & 0 & 1+i & 0\\ 0 & 0& 0 &1+i \end{bmatrix} \)
a)Wykazać, że macierz \(A\) jest diagnozowalna. Znaleźć macierz \(B\), w które macierz\( D\) endomorfizm \(f\) jest diagonalna. Podać macierz \(D\).

b) Znaleźć\(A^n\)

[panb]

Dana jest macierz \(A\) endomorfizm \(f\) przestrzeni \(c^4\) nad ciałem \(C\) w bazie
kanonicznej:

\(A = \) \( \begin{bmatrix} 1-i & 0 & 2i & 0 \\ 0 & 1-i & 2i & 0 \\ 0 & 0 & 1+i & 0\\ 0 & 0& 0 &1+i \end{bmatrix} \)
a)Wykazać, że macierz \(A\) jest diagnalizowalna. Znaleźć macierz \(B\), w które macierz\( D\) endomorfizm \(f\) jest diagonalna. Podać macierz \(D\).

b) Znaleźć\(A^n\)

Postarałeś się z zapisem w LaTeX'u, więc niech będzie.
Trzeba znaleźć wektory własne macierzy A i sprawdzić, czy są liniowo niezależne. Jeśli tak, to macierz da się zdiagonalizować.
Te wektory, to : (0,0,0,1); (1,1,1,0); (0,1,0,0); (1,0,0,0). Ponieważ \( \begin{vmatrix}0&0&0&1\\1&1&1&0\\ 0&1&0&0\\1&0&0&0 \end{vmatrix}=1 \), więc są one liniowo niezależne i macierz A jest diagnalizowalna.

To co tam dalej wypisujesz nie ma większego sensu, ale domyślam się, że masz podać tę zdiagonalizowaną postać.

W tym celu trzeba znaleźć macierz (to chyba to B u cb), która służy do diagonalizacji wg przepisu: \(D=BAB^{-1}\)

Przepis na B jest prosty pierwszy jej wiersz to obraz wektora jednostkowego (1,0,0,0) w przekształceniu o macierzy \( \begin{bmatrix} 0&0&0&1\\1&1&1&0\\ 0&1&0&0\\1&0&0&0 \end{bmatrix}\)
Policzę ten pierwszy wiersz: \(\begin{bmatrix} 0&0&0&1\\1&1&1&0\\ 0&1&0&0\\1&0&0&0 \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\1\\0\\1 \end{bmatrix} \)
Potem tak samo przekształcasz pozostałe wektory jednostkowe i wpisujesz ich obrazy w kolejne wiersze macierzy.
\[B= \begin{bmatrix} 0&1&0&1\\ \ldots &\ldots & \ldots & \ldots\\ \ldots &\ldots & \ldots & \ldots\\ \ldots &\ldots & \ldots & \ldots\end{bmatrix}\]

Daj znać czy poradziłeś sobie.