Zespolone

[EatonFS]

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory punktów
\(\frac{ | \kre{z} -2i| }{|z+1-i|} =5\)

[panb]

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory punktów
\(\frac{ | \kre{z} -2i| }{|z+1-i|} =5\)

\[z=x+iy \So \begin{cases} \kre{z}=x-iy \So \kre{z}-2i=x-(y+2)i\\z+1-i=x+1+(y-1)i \end{cases} \So \begin{cases}|\kre{z}-2i|^2=x^2+(y+2)^2\\|z+1-i|^2=(x+1)^2+(y-1)^2 \end{cases} \]

\[ \frac{ | \kre{z} -2i| }{|z+1-i|} =5 \iff \frac{ | \kre{z} -2i|^2 }{|z+1-i|^2} =25 \iff 25(x+1)^2+25(y-1)^2-x^2-(y+2)^2=0 \\46 + 50 x + 24 x^2 - 54 y + 24 y^2=0/:2 \iff 12x^2+12y^2+25x+27y+23=0\\
12 \left(x+ \frac{25}{24} \right)^2+12 \left( y- \frac{27}{24} \right)^2= \frac{125}{24} \iff \left(x+ \frac{25}{24} \right)^2+\left( y- \frac{27}{24} \right)^2= \frac{125}{288}\]

Ilustracją jest więc okrąg o środku \( \left( -\frac{25}{24} , \frac{27}{24} \right) \) i promieniu \( \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{288}}= \frac{5\sqrt{10}}{24} \)

P.S. jak widać na okręgu leży punkt (-0,5 ; 1,5). Oznacz to, że liczba \(z=- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i \) spełnia podane równanie. Łatwo sprawdzić, że tak jest w istocie.

[EatonFS]

Dzięki za pomoc a jak by wyglądał wykres jak by tam nie było sprzężenia?

[Jerry]

Analogicznie, różnica w rozwiązaniu panb

\(z=x+iy \So \begin{cases} \color{red}{z-2i=x+(y-2)i}\\z+1-i=x+1+(y-1)i \end{cases} \So \begin{cases}|\color{red}{z-2i|^2=x^2+(y-2)^2}\\|z+1-i|^2=(x+1)^2+(y-1)^2 \end{cases} \)

Pozdrawiam