Równanie w zbiorze liczb zespolonych.

[Kochaneiro]

a) \((2z-2)^4 = \left({3\over5} - {4\over5}i\right)^8\)
b) \((z+1+i)^4 + (1+2i)^8 = 0\)

[Jerry]

a) \((2z-2)^4 = \left({3\over5} - {4\over5}i\right)^8\)

Ja bym zaczął
\(\left({3\over5} - {4\over5}i\right)^8=\left[\left({3\over5} - {4\over5}i\right)^2\right]^4=
\left(-{7\over25} - {24\over15}i\right)^4\)
i otrzymał równanie
\((2z-2)^4 =\left(-{7\over25} - {24\over15}i\right)^4\)
a z niego kilka możliwości..., bo
\(z^4=(-z)^4=(iz)^4=(-iz)^4\)

Pozdrawiam

[panb]

a) \((2z-2)^4 = \left({3\over5} - {4\over5}i\right)^8\)

\((2z-2)^4 = \left({3\over5} - {4\over5}i\right)^8 \iff (2z-2)^4 - \left({3\over5} - {4\over5}i\right)^8=0\)
Teraz dwukrotnie stosujemy wzory skróconego mnożenia: \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \text{ oraz } a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)=(b+ai)(b-ai)\)

i otrzymujemy:
\[ \left[(2z-2)- \left( \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i\right)^2 \right] \cdot \left[ (2z-2)+ \left( \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i\right)^2\right] \cdot \left[ \left( \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i \right)^2-(2z-2)i \right] \cdot \left[ \left( \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i \right)^2+(2z-2)i \right]=0 \]

Teraz rozwiązujemy cztery proste równania. Dla przykładu rozwiążę jedno (ostatnie).
\( \left[ \left( \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i \right)^2+(2z-2)i \right]=0 \iff -\frac{7}{25} - \frac{24}{25}i+2iz-2i=0/\cdot i\\
-\frac{7}{25} i+ \frac{24}{25} -2z+2=0 \iff 2z=- \frac{7}{25} i+ \frac{74}{25} /:2 \iff z= \frac{37}{25} - \frac{7}{50} i\)

Podpunkt b) - analogicznie.