pytania z algebry liniowej

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
rimaslagu79
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 01 lis 2020, 07:25
Płeć:

pytania z algebry liniowej

Post autor: rimaslagu79 »

Znajdź równanie skalarne dla płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(P_1 = (- 5, −4, −5), P_2 = (- 5, −2, −7)\) i \(P_3 = (0, −4, −7)\).

Znajdź \(x\) tak, aby trójkąt o wierzchołkach \(A = (1, -7, 1),\ B = (- 5, -16, 11)\) i \(C = (x, -3, -6)\) miał kąt prosty w punkcie \(A\).

jak można rozwiązać te pytania?
Ostatnio zmieniony 01 lis 2020, 13:53 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości; wykorzystuj kod LaTeX
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: pytania z algebry liniowej

Post autor: panb »

rimaslagu79 pisze: 01 lis 2020, 07:31 Znajdź równanie skalarne dla płaszczyzny przechodzącej przez punkty P1 = (- 5, −4, −5), P2 = (- 5, −2, −7) i P3 = (0, −4, −7).
Równanie płaszczyzny (chyba skalarne, chociaż nie spotkałem się z tym terminem) otrzymasz tak:
\( \begin{vmatrix}x&y&z&1\\ -5&-4&-5&1 \\-5&-2&-7&1\\0&-4&-7&1 \end{vmatrix}=0 \)

Odpowiedź: \( -110 - 4 x - 10 y - 10 z=0 \iff 4 x + 10 y + 10 z+110 =0 \iff 2x+5y+5z+55=0\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: pytania z algebry liniowej

Post autor: panb »

rimaslagu79 pisze: 01 lis 2020, 07:31 Znajdź x tak, aby trójkąt o wierzchołkach A = (1, -7, 1), B = (- 5, -16, 11) i C = (x, -3, -6) miał kąt prosty w punkcie A.

jak można rozwiązać te pytania?
Wektory \(\vec{AB} \text{ i } \vec{AC}\) muszą być prostopadłe (warunek prostopadłości).
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: pytania z algebry liniowej

Post autor: Jerry »

rimaslagu79 pisze: 01 lis 2020, 07:31 Znajdź równanie skalarne dla płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(P_1 = (- 5, −4, −5), P_2 = (- 5, −2, −7)\) i \(P_3 = (0, −4, −7)\).
Albo bardziej elementarnie:
\(\vec{P_1P_3}\times\vec{P_2P_3}=[-5,0,2]\times[-5,2,0]=[-4,-10,-10]=\vec{N_\pi}\)
Zatem dla \(P(x,y,z)\in\pi\) musi zachodzić
\(\vec{P_3P} \perp \vec{N_\pi}\iff \pi\colon -4\cdot(x-0)+(-10)\cdot(y+4)+(-10)\cdot(z+7)=0\)
i jest to równanie ogólne, wynikające z własności iloczynu skalarnego

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: pytania z algebry liniowej

Post autor: Jerry »

rimaslagu79 pisze: 01 lis 2020, 07:31 Znajdź \(x\) tak, aby trójkąt o wierzchołkach \(A = (1, -7, 1),\ B = (- 5, -16, 11)\) i \(C = (x, -3, -6)\) miał kąt prosty w punkcie \(A\).
panb pisze: 01 lis 2020, 11:04 Wektory \(\vec{AB}\) i \(\vec{AC}\) muszą być prostopadłe (warunek prostopadłości).
Czyli
\(\vec{AB}\circ \vec{AC}=[-6,-9,10]\circ[x-1,4,-7]=-6\cdot(x-1)-9\cdot4+10\cdot(-7)\)
musi się zerować
rimaslagu79 pisze: 01 lis 2020, 07:31 jak można rozwiązać te pytania?
Pytania rzadko się rozwiązuje, trzeba na nie logicznie odpowiedzieć...

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ