Rozwiąż równanie

[apidynos]

Rozwiąż równanie:

\(z^{6} − 7z^{3} − 8 = 0\)

Podstawiłem \(k = z^{3}\) i wyszło mi \(z_1 = -1\) , \( z_2 = 2\)
Nie wiem co teraz zrobić, próbowałem podzielić ten wielomian przez \((z+1)(z-2)\), lecz otrzymałem wielomian czwartego stopnia i nie wiedziałem jak znaleźć jego pierwiastki.

Proszę o pomoc i wytłumaczenie

[radagast]

Co Ty kombinujesz ? To równanie nie ma więcej rozwiązań.
\(z^{6} − 7z^{3} − 8 = 0 \iff \)
\((z^3-8)(z^3+1)= 0 \iff \)
\(z^3=8 \vee z^3=-1 \iff \)
\(z=2 \vee z=-1 \)

[apidynos]

A w ciele liczb zespolonych?

[Galen]

Rozwiąż równanie:

\(z^{6} − 7z^{3} − 8 = 0\)

Podstawiłem \(k = z^{3}\) i wyszło mi \(z_1 = -1\) , \( z_2 = 2\)
Nie wiem co teraz zrobić, próbowałem podzielić ten wielomian przez \((z+1)(z-2)\), lecz otrzymałem wielomian czwartego stopnia i nie wiedziałem jak znaleźć jego pierwiastki.

Proszę o pomoc i wytłumaczenie

Jeśli dzielić,to przez \((x^3+1)\;\;\;lub\;\;\;\;(x^3-8)\)
Do dalszego rozkładu na czynniki możesz zastosować wzory
\((a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
Teraz licząc delty dla czynników stopnia drugiego wykażesz,że nie ma więcej rozwiązań rzeczywistych,a zespolone policzysz...

[Jerry]

Jeśli \(z\in\cc\), to
\(w(z)=z^{6} − 7z^{3} − 8 =(z^3+1)(z^3-8)=(z+1)(z^2-z+1)(z-2)(z^2+2z+4)=\\
\quad=(z+1)\left[\left(z-{1\over2}\right)^2+{3\over4}\right](z-2)\left[(z+1)^2+3\right]=\\
\quad=(z+1)\left[\left(z-{1\over2}\right)^2-\left({\sqrt3\over2}i\right)^2\right](z-2)\left[(z+1)^2-(\sqrt3i)^2\right]=\\
\quad=(z+1)\left(z-{1\over2}-{\sqrt3\over2}i\right)\left(z-{1\over2}+{\sqrt3\over2}i\right)(z-2)
\left(z+1-\sqrt3i\right)\left(z+1+\sqrt3i\right)\)
skąd pierwiastki

Pozdrawiam
PS. Pisz od razu, w jakiej dziedzinie!