Naszkicuj na płaszczyźnie Gaussa zbiór

[anything1327]

\(z\in \ccc \)

a) \(|\frac{1}{z}| \ge 1 \wedge Re(z) \ge Im(z)\)

c) \(arg(z+2) = \frac{\pi}{3} \)

d) \(arg(zi) = \frac{\pi}{4} \vee |z| \le 1\)

I chciałbym zapytać czy dobrze zrobiłem inny przykład:
\(|z + 1 - i| > \sqrt{2}\)
Zaznaczyłem punkt (1, -1) i narysowałem okrąg o promieniu \(\sqrt{2}\), czy to będzie dobrze?
Dodatkowo było \(|z| \le 2\)
Podniosłem obie strony do potegi i wyszedl mi okrag (0,0) promien = 2, czy to jest dobrze?

Z góry dziękuje za odpowiedź.

[panb]

I chciałbym zapytać czy dobrze zrobiłem inny przykład:
\(|z + 1 - i| > \sqrt{2}\)
Zaznaczyłem punkt (1, -1) i narysowałem okrąg o promieniu \(\sqrt{2}\), czy to będzie dobrze?
Dodatkowo było \(|z| \le 2\)
Podniosłem obie strony do potegi i wyszedl mi okrag (0,0) promien = 2, czy to jest dobrze?

Z góry dziękuje za odpowiedź.

Niedobrze.
\(|z-z_0|=r\) to okrąg o promieniu r i środku \( z_0\)

\(|z+1-i|>\sqrt2 \iff |z-(-1+i)|>\sqrt2 \) - mamy tu zewnętrze okręgu o promieniu \(r=\sqrt2\) i środku \(z_0=-1+i\) - żółty obszar.
\(|z|\le2\) to koło (okrąg + wnętrze) o środku \(z_0=0\) i promieniu \(r=2\) - brązowy obszar.

W rezultacie mamy to co na rysunku poniżej jest na czerwono - część wspólna.

[panb]

\(z\in \ccc \)

c) \(arg(z+2) = \frac{\pi}{3} \)

Niech \(z=x+iy\,\, \text{ oraz }\,\, \varphi={Arg}(z) \So \tg\varphi= \frac{y}{x} \\
z+2=(x+2)+iy \,\,\text{ oraz }\,\, \psi={Arg}(z+2)\So \tg\psi= \frac{y}{x+2}\\
\psi= \frac{\pi}{3} \So \frac{y}{x+2}=\tg \frac{\pi}{3}=\sqrt3 \So y=\sqrt3(x+2) \)

Odpowiedź: \(\{z\in\cc: arg(z+2)= \frac{\pi}{3} \}=\{(x,\sqrt3(x+2)): x\in\rr\}\)

ilustracja graficzna

[anything1327]

Dasz radę pomóc z pozostałymi przykładami?

[panb]

\(z\in \ccc \)
d) \(arg(zi) = \frac{\pi}{4} \vee |z| \le 1\)

Myślałem, że sam dasz radę.
\(z=x+iy \So zi=-y+ix \\
arg(zi)=\varphi \So \tg\varphi= \frac{x}{-y}=- \frac{x}{y}\\
arg(zi)= \frac{\pi}{4}\iff - \frac{x}{y}= \frac{\pi}{4} \So y=- \frac{4}{\pi}x \)

\(\{z\in\cc: arg(zi)= \frac{\pi}{4} \}=\{ \left( x, - \frac{4}{\pi}x\right), x\in \rr \}\)

Ilustrację do \(|z|\le 1\) pewnie ogarniasz. Przypomnę, że znak \( \vee \) nakazuje wzięcie sumy obu zbiorów (chyba, że pomyliłeś symbole).

Jeśli mimo tej wskazówki nie dasz rady ( ), to podam rozwiązanie, ale spróbuj.

[panb]

\(z\in \ccc \)

a) \(|\frac{1}{z}| \ge 1 \wedge Re(z) \ge Im(z)\)

\(z=x+iy \So \frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}\cdot \frac{x-iy}{x-iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2} - \frac{y}{x^2+y^2}i \So \left| \frac{1}{z} \right|= \sqrt{ \frac{x^2}{(x^2+y^2)^2} + \frac{y^2}{(x^2+y^2)^2} }= \frac{1}{x^2+y^2} \\
\left| \frac{1}{z} \right|\ge 1 \iff \frac{1}{x^2+y^2}\ge1\iff x^2+y^2\le 1 \wedge x^2+y^2\neq0\\
{Re}(z)\ge {Im}(z) \iff x\ge y\)

\(\{z\in\cc: \left| \frac{1}{z} \right|\ge 1 \wedge {Re}(z)\ge {Im}(z)\} =\{(x,y):x,y\in\rr \wedge x^2+y^2\le 1 \wedge x\ge y \wedge x\neq0 \wedge y\neq0 \}\)

Na rysunku, obszar zamalowany na zielono (bez punktu (0,0))