Równania macierzowe

[Sylus]

Dla układu równań:
\( \begin{cases} 3x-y+2z=-2\\
x+z=-1\\
x+2z=\alpha\\
2x+y=3\\\end{cases}\)

a)Wyznaczyć macierz główną i odwrotną
b)wyznaczyć rząd macierzy głównej
c)dla jakiej wartości α układ jest niesprzeczny
d)kiedy układ jest oznaczony?
e)rozwiązać układ równan

Takie mam wyniki jak na razie:
a)Macierz główna:
⎡⎣⎢⎢⎢⎢3,−1,21,0,11,0,22,1,0⎤⎦⎥⎥⎥⎥
b)rząd wyszedł mi 3.

[panb]

\( A=\begin{bmatrix}3&-1&2\\1&0&1\\1&0&2\\2&1&0 \end{bmatrix}[w_3-w_2] \begin{bmatrix} 3&-1&2\\1&0&1\\0&0&1\\2&1&0\end{bmatrix} \begin{vmatrix} w_2-w_3\\w_1-2w_3\end{vmatrix} \begin{bmatrix} 3&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\\2&1&0\end{bmatrix} [w_1+w_4]\begin{bmatrix} 5&0&0\\1&0&0\\0&0&1\\2&1&0\end{bmatrix} \begin{vmatrix} w_1-5w_2\\w_4-2w_2\end{vmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&0\\1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}\)
więc r(A)=3

\(U= \begin{bmatrix} 3&-1&2&-2\\1&0&1&-1\\1&0&2&a\\2&1&0&3\end{bmatrix}[w_1-2w_2]\begin{bmatrix} 1&-1&0&0\\1&0&1&-1\\1&0&2&a\\2&1&0&3\end{bmatrix} \)

\(\det(U)= \begin{vmatrix} 1&-1&0&0\\1&0&1&-1\\1&0&2&a\\2&1&0&3\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}0&1&-1\\0&2&a\\1&0&3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&1&-1\\ 1&2&a\\ 2&0&3\end{vmatrix}= a+2+6+2a+4-3=3a+9\)

\(3a+9=0 \iff a=-3\), więc dla \(a\neq-3\) rząd macierzy uzupełnionej jest równy 4 i nie jest równy rzędowi macierzy głównej i układ jest sprzeczny.To znaczy, że układ nie jest sprzeczny dla \(a=-3\).

Dla a=-3 układ można zapisać tak (pomijając pierwsze równanie):
\[ \begin{cases} x+z=-1\\x+2z=-3\\2x+y=3\end{cases} \]
To już na pewno ogarniasz. Rozwiązaniem jest \(x=1,\,\, y=1, \,\,z=-2\).
UWAGA! Łatwo sprawdzić, że spełnione jest też pierwsze (pominięte) równanie.