Pierwiastki wielomianu w zbiorze liczb zespolonych

[kampi]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:

Oblicz W(i), a następnie znajdź wszystkie pierwiastki wielomianu \(W(z)=z^4-z^3+2z^2-z+1\)

[panb]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:

Oblicz W(i), a następnie znajdź wszystkie pierwiastki wielomianu \(W(z)=z^4-z^3+2z^2-z+1\)

Przypomnę: \(i^2=-1\). Wobec tego
\[W(i)=i^4-i^3+2i^2-i+1=1+i-2-i+1=0\]
Skoro W(i)=0, więc wielomian W(z) jest podzielny bez reszty przez (z-i).
Wykonujemy dzielenie (DIY): \[(z^4-z^3+2z^2-z+1):(z-i)=z^3-(1-i)z^2+(1-i)z+i\].
Obniżyliśmy stopień wielomianu do 3. To nie załatwia sprawy, bo wzory (te z deltą) sa dla wielomianów stopnia 2.
Trzeba jeszcze obniżyć stopień.
Niech \( Q(z)=z^3-(1-i)z^2+(1-i)z+i\). Szukamy takiej wartości z, dla której Q(z)=0.
Sprawdź dla ćwiczenia, że Q(i)=2, Q(i)=1+i, ale ... Q(-i)=0. Zatem wielomian Q(z) jest podzielny przez (z+i). No to dzielimy.
\[[z^3-(1-i)z^2+(1-i)z+i]:(z+i)=z^2-z+1\]
Teraz wystarczy rozłożyć ten wynik na czynniki (deltą albo wzorem skróconego mnożenia).
\(z^2-z+1= \left( z- \frac{1}{2}\right)^2+ \frac{3}{4}= \left( z- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}i \right) \left( z- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}i \right)= \left( z- \frac{1+i\sqrt3}{2} \right) \left(z- \frac{1-i\sqrt3}{2} \right) \) i mamy

Odpowiedź: \(W(z)=0 \iff z=i \vee z=-i \vee z=\frac{1+i\sqrt3}{2} \vee z= \frac{1-i\sqrt3}{2}\)

THE END

[Jerry]

Albo:
\(W(z)=z^4-z^3+2z^2-z+1=(z^4+2z^2+1)+(-z^3-z)=(z^2+1)^2-z(z^2+1)=\\
\ =(z^2+1)(z^2+1-z)=\cdots\)

Pozdrawiam