Oblicz wartości własne i wektory własne przekształcenia

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Charlott216
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 14 cze 2020, 12:04
Podziękowania: 7 razy
Płeć:

Oblicz wartości własne i wektory własne przekształcenia

Post autor: Charlott216 »

Oblicz wartości własne i wektory własne przekształcenia \[𝑳:𝑹^𝟐 → 𝑹^𝟐 \] danego wzorem \[ 𝑳(𝒙, 𝒚) = (𝟐𝒙 + 𝒚, 𝒙 + 𝟐𝒚).\]
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Oblicz wartości własne i wektory własne przekształcenia

Post autor: panb »

Charlott216 pisze: 14 cze 2020, 13:22 Oblicz wartości własne i wektory własne przekształcenia \[𝑳:𝑹^𝟐 → 𝑹^𝟐 \] danego wzorem \[ 𝑳(𝒙, 𝒚) = (𝟐𝒙 + 𝒚, 𝒙 + 𝟐𝒚).\]
Macierz tego przekształcenia \(A= \begin{bmatrix} 2&1\\1&2\end{bmatrix} \).
  1. Znajdziemy wartości własne z równania charakterystycznego: \( \begin{vmatrix} 2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-3)(\lambda-1)=0 \iff \lambda_1=1,\,\,\, \lambda_2=3 \).
    \(\lambda_1=1,\,\,\, \lambda_2=3\) to szukane wartości własne.
  2. Dla każdego λ znajdziemy jego własny wektor:
    1. \(\lambda_1=1 \So (A-\lambda_1I) \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix} =0 \iff \begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix} =0 \iff x_1+x_2=0 \iff x_2=-x_1\\
      v_{\lambda=1}= \begin{bmatrix}x_1\\x_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x_1\\-x_1 \end{bmatrix}=x_1 \begin{bmatrix} 1\\-1\end{bmatrix} \)

      Wektor \(v_{\lambda=1[/size]}=\begin{bmatrix} 1\\-1\end{bmatrix}\) jest szukanym wektorem własnym wartości własnej \(\lambda=1\).
    2. \(\lambda_2=3 \So (A-\lambda_1I) \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix} =0 \iff \begin{bmatrix}-1&1\\1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix} =0 \iff \ldots ... \)
      Wektor \(v_{\lambda=3}= \begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix} \) jest szukanym wektorem własnym wartości własnej \(\lambda=3\).
Charlott216
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 14 cze 2020, 12:04
Podziękowania: 7 razy
Płeć:

Re: Oblicz wartości własne i wektory własne przekształcenia

Post autor: Charlott216 »

Czy po kropkach powinno być następujące równanie?

\[.....=x_1+x_2=0⟺x2=−x_1v_λ=1= \begin{bmatrix}x_1\\x_1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x_1\\-x_1 \end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1\\-1 \end{bmatrix}\]

\[v_λ=1=\begin{bmatrix}x_1\\x_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\-x_1 \end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1\\-1 \end{bmatrix}\]
Charlott216
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 14 cze 2020, 12:04
Podziękowania: 7 razy
Płeć:

Re: Oblicz wartości własne i wektory własne przekształcenia

Post autor: Charlott216 »

panb pisze: 14 cze 2020, 17:00
Charlott216 pisze: 14 cze 2020, 13:22 Oblicz wartości własne i wektory własne przekształcenia \[𝑳:𝑹^𝟐 → 𝑹^𝟐 \] danego wzorem \[ 𝑳(𝒙, 𝒚) = (𝟐𝒙 + 𝒚, 𝒙 + 𝟐𝒚).\]
Macierz tego przekształcenia \(A= \begin{bmatrix} 2&1\\1&2\end{bmatrix} \).
  1. Znajdziemy wartości własne z równania charakterystycznego: \( \begin{vmatrix} 2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-3)(\lambda-1)=0 \iff \lambda_1=1,\,\,\, \lambda_2=3 \).
    \(\lambda_1=1,\,\,\, \lambda_2=3\) to szukane wartości własne.
  2. Dla każdego λ znajdziemy jego własny wektor:
    1. \(\lambda_1=1 \So (A-\lambda_1I) \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix} =0 \iff \begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix} =0 \iff x_1+x_2=0 \iff x_2=-x_1\\
      v_{\lambda=1}= \begin{bmatrix}x_1\\x_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x_1\\-x_1 \end{bmatrix}=x_1 \begin{bmatrix} 1\\-1\end{bmatrix} \)

      Wektor \(v_{\lambda=1[/size]}=\begin{bmatrix} 1\\-1\end{bmatrix}\) jest szukanym wektorem własnym wartości własnej \(\lambda=1\).
    2. \(\lambda_2=3 \So (A-\lambda_1I) \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix} =0 \iff \begin{bmatrix}-1&1\\1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix} =0 \iff \ldots ... \)
      Wektor \(v_{\lambda=3}= \begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix} \) jest szukanym wektorem własnym wartości własnej \(\lambda=3\).

Czy po kropkach powinno być następujące równanie?

\[.....=x_1+x_2=0⟺x2=−x_1v_λ=1= \begin{bmatrix}x_1\\x_1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x_1\\-x_1 \end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1\\-1 \end{bmatrix}\]

\[v_λ=1=\begin{bmatrix}x_1\\x_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\-x_1 \end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1\\-1 \end{bmatrix}\]
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Oblicz wartości własne i wektory własne przekształcenia

Post autor: panb »

Nie. \(-x_1+x_2=0\).
Jak ty mnożysz? \((-1)\cdot x_1+1\cdot x_1=0\) i \(1\cdot x_1+(-1)\cdot x_2=0\). To daje \(x_1=x_2\)

Zobacz (np. w internecie) jak się mnoży macierze, bo zdaje się, że bladego pojęcia o tym nie masz.
ODPOWIEDZ