stosując kryterium Cauchy"ego wyznacz koło zbieżności szeregu

[enta]

stosując kryterium Cauchy"ego wyznacz koło zbieżności szeregu
a) \(\sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{n-7}{4n+2})^n*z^{n+3}\)
b)\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^n-n}{3^n+4n-8} * (z-3)^n\)

[panb]

stosując kryterium Cauchy"ego wyznacz koło zbieżności szeregu
a) \(\sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{n-7}{4n+2})^n*z^{n+3}\)
b)\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^n-n}{3^n+4n-8} * (z-3)^n\)

a) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{n-7}{4n+2}\right )^n*z^{n+3}=z^3\sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{n-7}{4n+2} \right) ^n z^n \)
\(\displaystyle\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \begin{vmatrix} \left( \frac{n-7}{4n+2} \right) ^n\end{vmatrix} }= \Lim_{n\to \infty} \frac{n-7}{4n+2}= \frac{1}{4} \), więc szereg jest zbieżny dla \(|z|<4\).
Jeśli |z|=4, szereg jest rozbieżny, czyli

Odpowiedź: Szereg \(\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{n-7}{4n+2}\right )^nz^{n+3}\) jest zbieżny dla |z|<4

[panb]

b)\( \displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^n-n}{3^n+4n-8} (z-3)^n \\
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \frac{2^n-n}{3^n+4n-8}} = \Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{ \left( \frac{2}{3}\right) ^n- \frac{n}{3^n} }{1+ \frac{4n}{3^n} - \frac{8}{3^n}}}=0 }\)
więc promień zbieżności \(R=\infty\)

UWAGA: W obydwu zadaniach \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\) można zastąpić zwykłą granicą, bo nie ma (np.) \((-1)^n\)