Napisz szeregi zespolone

[enta]

Napisz szeregi zespolone dla funkcji \(e^z\), \(sinz, cosz, sinhz, coshz\) i przy ich pomocy uzasadnij definicję funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych przy wykorzystaniu funkcji wykładniczej.

[panb]

Napisz szeregi zespolone dla funkcji \(e^z\), \(sinz, cosz, sinhz, coshz\) i przy ich pomocy uzasadnij definicję funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych przy wykorzystaniu funkcji wykładniczej.

\[e^{z}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \\
\sin z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
\cos z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}\\
\sinh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
\cosh z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\]
To mogłaś spokojnie (tak jak ja) znaleźć w internecie!

\(\displaystyle \cos z+ i\sin z =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}= \frac{z^0}{0!}+ i\frac{z^1}{1!}- \frac{z^2}{2!}-i \frac{z^3}{3!}+\ldots = \\
\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{(iz)^0}{0!} + \frac{(iz)^1}{1!} + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} +\ldots= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(iz)^n}{n!}=e^{iz} \)
Zatem mamy
\( \displaystyle \begin{cases}e^{iz}=\cos z+i\sin z \\ e^{-iz}=\cos z-i\sin z\end{cases} \So e^{iz}+e^{-iz}=2\cos z \So \cos z= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \text{ oraz } e^{iz}-e^{-iz}=2i\sin z \So \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \)

Mam nadzieję, że teraz bez problemu poradzisz sobie z hiperbolicznymi. Prawda?