rozwiąż równania różniczkowe

[2001]

1) \(y''+y'= \frac{1}{sinx}\)
2) \(y''+y=tgx\)
3) \(y''+2y'+y= \frac{e^{-x}}{x}\)
4) \(y''+4y= \frac{1}{cos2x} \)
5) \(y''-6y'+9y= \frac{e^{3x}}{x^2}\)
6) \(y''-3y'+2y=sin(e^{-x})\)

[panb]

2) \(y''+y=tgx\)

Trochę tego za dużo biorąc pod uwagę regulamin i zdrowy rozsądek, nie uważasz?
Omijam 1) jakaś nieelementarna całka wychodzi.
Ad. 2
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne \(y''+y=0\). Wtedy \(r^2+1=0 \So r=0\pm i\) Ma ono dwie całki szczególne \(y_1(x)=\sin x\) oraz \(y_2(x)=\cos x\). Wrońskian \(W(x)= \begin{vmatrix}sin x& \cos x\\\cos x &-\sin x \end{vmatrix} =-1\) Stąd całka ogólna równania jednorodnego ma postać
\[y=A(x)\sin x+B(x)\cos x\]
gdzie A(x) i B(x) są funkcjami nieznanymi. Na podstawie wzorów łatwo znajdujemy, że
\(\displaystyle A(x)=\int - \frac{y_2(x) \cdot f(x)}{W(x)} {dx}+C_1=C_1+\int \cos x \cdot \tg x {dx}=\int \sin x{dx}+C_1=C_1-\cos x\\
B(x)=\displaystyle \int \frac{y_1(x) \cdot f(x)}{W(x)} {dx}+C_2=C_2-\int \sin x \tg x {dx}=\sin x -\ln \tg \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) +C_2 \)

Szukana całka ogólna danego równania różniczkowego niejednorodnego ma postać
\[y=(C_1-\cos x)\sin x+ \left( \sin x -\ln \tg \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) +C_2\right) \cos x =\\= C_1\sin x+C_2\cos x-\cos x\ln \tg \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)\]

[panb]

3) \(y''+2y'+y= \frac{e^{-x}}{x}\)

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne \(y''+2y'+y=0\). Wtedy \(r^2+2r+1=0 \iff (r+1)^2=0 \iff r_{1,2}=-1\)
Ma ono dwie całki szczególne \(y_1(x) =e^{-x}\) oraz \(y_2(x)=xe^{-x}\). Wrońskian \(W(x)= \begin{vmatrix} e^{-x}&xe^{-x}\\ -e^{-x}& e^{-x}(1-x)\end{vmatrix}=e^{-2x} \).
Stąd całka ogólna równania jednorodnego ma postać
\[y=[A(x)+xB(x)]e^{-x}\]
gdzie A(x) i B(x) są funkcjami nieznanymi. Na podstawie wzorów łatwo znajdujemy, że
\(\displaystyle A(x)=\int \frac{-y_2(x)\cdot f(x)}{W(x)}{dx}+C_1=C_1 -\int \frac{xe^{-x}\cdot e^{-x}}{xe^{-2x}}{dx} =C_1-x \\
\displaystyle B(x)=\int \frac{y_1(x)\cdot f(x)}{W(x)}{dx}+C_2=\int \frac{e^{-x}\cdot e^{-x}}{x\cdot e^{-2x}}{dx}+C_2=\int \frac{dx}{x} +C_2 =\ln x+C_2\)

Szukana całka ogólna danego równania różniczkowego niejednorodnego ma postać
\[y= \left(C_1-x+(\ln x+C_2)x \right)e^{-x} = \left[(C_2-1+\ln x)x+C_1 \right]e^{-x} = \left(C_1+C_2x+x\ln x \right)e^{-x} \]