Mamy płaszczyznę

[TomaszSy]

Mamy płaszczyznę \(\alpha : 3x + 2y- z = 0\) i linię \(l \) przechodzącą przez punkt \(B (2,5, -1)\)
i równolegle do wektora \([-1, 11,2]\). Odnaleźć:
a) współrzędne punktu \(A = \alpha \cap l\),
b) równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(B \) i równoległej do płaszczyzny \(\alpha\) ,
c) równanie płaszczyzny \(y \) zawierającej linię \(l \) i prostopadłą do płaszczyzny \(\alpha\) ,
d) prostokątny rzut linii prostej \(l \) na płaszczyznę \(\alpha\)

[radagast]

a) równanie parametryczne prostej l: \( \begin{cases} x=-t+2\\y=11t+5\\z=2t-1\end{cases}\)
Zatem punkt A wyznaczymy rozwiązując równanie: \(3(-t+2) + 2(11t+5)- (2t-1) = 0\)
Co daje \(t=-1\). Punkt A ma więc współrzędne \( \begin{cases} x=1+2=3\\y=-11+5=-6\\z=-2-1=-3\end{cases}\)
Oczywiście należy sprawdzić rachunki (mogłam się pomylić)

[radagast]

b) szukana płaszczyzna ma postać \(3x + 2y- z+D = 0\), a skoro przechodzi przez punkt B to
\(6 + 10+1+D = 0\) czyli \(D=-17\)
no to \( \beta : 3x + 2y- z-17 = 0 \)

[radagast]

c) szukana płaszczyzna ma by równoległa do wektorów \([3,2,-1]\) oraz \([-1, 11,2]\)
\([3,2,-1] \times [-1, 11,2]=[15,-5,35] \parallel [3,-1,7]\)
no to szukana płaszczyzna ma równanie postaci \(3x-y+7z+D=0\), a skoro przechodzi przez B , to ... (dokończ sobie tak jak w podpunkcie b)

[radagast]

d)Szukany rzut równoległy w postaci krawędziowej ma równanie \( \begin{cases} 3x + 2y- z = 0\\3x-y+7z+D=0\end{cases} \) (wstaw D znalezione w poprzednim podpunkcie i masz odpowiedź ) .