liczba zespolona

[LudwikM]

dana jest liczba \(z= \frac{( \sqrt{3}+i)^{23} }{(1-i)^9} \)
przedstawić liczę w postaci trygonometrycznej i wyznaczyć jej argument główny.
Czy dobrze policzyłem bo wyszedł mi taki wynik:
policzyłem oddzielnie licznik i mianownik
z licznika wyszło mi: \(2^{22}( \sqrt{3}-i)\)
z mianownika \(2^{ \frac{7}{2} }( \sqrt{2} - \sqrt{2} i)\)

a końcowy wynik \(2^{ \frac{33}{2} }( \sqrt{6} + \sqrt{2} +( \sqrt{6} - \sqrt{2})i)\)

czy to jest dobrze?

[kerajs]

Sprawdzę licząc tak:
\(z= \frac{( \sqrt{3}+i)^{23} }{(1-i)^9}= \frac{(2e^{i \frac{ \pi }{6} })^{23}}{( \sqrt{2} e^{i \frac{ -\pi }{4} })^{9}} = \frac{2^{23}e^{i \frac{ 23\pi }{6} }}{2^{ \frac{9}{2} } e^{i \frac{ -9\pi }{4} }} =2^{23- \frac{9}{2} }e^{i( \frac{23 \pi }{6}+ \frac{9 \pi }{4} )}=2^{ \frac{37}{2} }e^{i \frac{ \pi }{12} }=2^{18} \sqrt{2} (\cos 15^\circ +i \sin 15^\circ)
\)

[LudwikM]

Czyli źle policzyłem?

[kerajs]

A gdzieś tak napisałem?

Przedstaw swój wynik w postaci trygonometrycznej (zresztą zgodnie z poleceniem!) a przekonasz się że dobrze, choć niestandardowo.

[LudwikM]

ok dzięki wielkie za pomoc . potrzebuje jeszcze wyznaczyć pierwiastku 4 stopnia z tej liczby , pomożesz?

[LudwikM]

bardzo proszę o pomoc

[kerajs]

\(z=2^{ \frac{37}{2} }e^{i \frac{ \pi }{12} }\\
t= \sqrt[4]{z}= \sqrt[4]{2^{ \frac{37}{2} }e^{i (\frac{ \pi }{12}+k2\pi) }} = 2^{ \frac{37}{8} }e^{i (\frac{ \pi }{48}+k\frac{\pi}{2}) }\\
t_0=2^{ \frac{37}{8} }e^{i (\frac{ \pi }{48}+0 \cdot \frac{\pi}{2}) }\\
t_1=2^{ \frac{37}{8} }e^{i (\frac{ \pi }{48}+1 \cdot \frac{\pi}{2}) }\\
t_2=2^{ \frac{37}{8} }e^{i (\frac{ \pi }{48}+2 \cdot \frac{\pi}{2}) }\\
t_3=2^{ \frac{37}{8} }e^{i (\frac{ \pi }{48}+3 \cdot \frac{\pi}{2}) }
\)