problem z bijekcją

[klarksons]

Ustalmy wolne grupy abelowe F i G o bazach \( \{f_{i}:i \in I\} \) i \( \{g_{j}: j \in J\}\), odpowiednio gdzie I I I = I J I. Istnieje wówczas zbiór K taki, że \( \{f_{i}:i \in I\} = \{f_{k}:k \in K\} \) oraz \( \{g_{j}: j \in J\} = \{g_{k}: k \in K\} \) i możemy zdefiniowac odwzorowanie \( h: F \to G \) wzorem \( h\Big(\sum_{k \in K}x_{k}f_{k}\Big) = x_{k}g_{k} \).

Trzeba udowodnić, że h jest bijekcją. Nie mam pojęcia jak to zrobić, prosze o pomoc ;/

[grdv10]

W grupie wolnej mamy jednoznaczność reprezentacji elementu w postaci tej kombinacji.

Najpierw trzeba pokazać, że \(h\) jest dobrze zdefiniowane. Niech więc \(x=\sum_k x_kf_k=\sum_k y_k f_k\). Wtedy \(x_k=y_k\) dla każdego \(k\in K\), więc \(h(x)=\sum_k x_kg_k=\sum_ky_kg_k\), co pokazuje poprawność definicji odwzorowania \(h\).

Niech \(h(x)=h(y)\) oraz \(x=\sum_kx_kf_k\), \(y=\sum_ky_k f_k\). Wtedy \(\sum_kx_k g_k=\sum_k y_kg_k\) i z tego, że \(G\) jest grupą wolną wynika, że \(x_k=y_k\) dla każdego \(k\), co oznacza, że \(x=y\) i dowodzi różnowartościowości.

Niech \(y\in G\), \(y=\sum_kx_kg_k\). Wtedy dla \(x=\sum_kf_k\) mamy \(y=f(x)\). Oznacza to, że \(h\) jest surjekcją i kończy dowód bijektywności.

[klarksons]

Bardzo dziękuje za pomoc