Sprawdź, czy wielomian W(n)= n^5-5n^3+4n jest podzielny kolejno przez liczby 45,15,24,120.
(gdzie n to dowolna liczba naturalna)
Wielomian podzielny przez liczbę
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
backtoamsterdam002
- Dopiero zaczynam
- Posty: 20
- Rejestracja: 24 mar 2020, 22:15
- Podziękowania: 7 razy
- Płeć:
Wielomian podzielny przez liczbę
Ostatnio zmieniony 25 mar 2020, 00:35 przez backtoamsterdam002, łącznie zmieniany 1 raz.
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Wielomian podzielny przez liczbę
\(W(n)=n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=\\=n(n^2-4)(n^2-1)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\)
Wśród pięciu kolejnych liczb na pewno jedna jest podzielna przez 5, na pewno jedna jest podzielna przez 3 oraz na pewno są dwie liczby parzyste (jedna podzielna przez 2, a druga przez 4). Stąd podzielność przez 120 (i także przez 15 i 24)
Podzielność przez 45 nie zachodzi dla n=3k, gdzie k to dowolna liczba naturalna niepodzielna przez 3
Wśród pięciu kolejnych liczb na pewno jedna jest podzielna przez 5, na pewno jedna jest podzielna przez 3 oraz na pewno są dwie liczby parzyste (jedna podzielna przez 2, a druga przez 4). Stąd podzielność przez 120 (i także przez 15 i 24)
Podzielność przez 45 nie zachodzi dla n=3k, gdzie k to dowolna liczba naturalna niepodzielna przez 3