równanie różniczkowe metoda przewidywań

[hehebela]

y'-3y=sinx

Uzmienniłem stałą wyszło mi
y=Ce^3x
y'=C'(x)e^3x+3Ce^3x

C(x)=całka z sinx*e^-3x

i ta całka mi nie wychodzi

y'-2y=x^2-3x
tutaj tak samo jak wyżej uzmienniłem stała

y=C(x)*e^2x
y'=C'(x)*e^2x+C(x)*e^2x

C=całka z (x^2-3x)e^-2x

Nie wiem czy dobrze wyliczam to C a potem całke, dlatego prosiłbym o sprawdzenie tego

[eresh]

y'-3y=sinx

Uzmienniłem stałą wyszło mi
y=Ce^3x
y'=C'(x)e^3x+3Ce^3x

C(x)=całka z sinx*e^-3x

i ta całka mi nie wychodzi

\(\int e^{-3x}\sin xdx= \begin{bmatrix} u(x)=\sin x&u'(x)=\cos x\\v'(x)=e^{-3x}&v(x)=-\frac{1}{3}e^{-3x}\end{bmatrix} =-\frac{1}{3}e^{-3x}\sin x+\frac{1}{3}\int e^{-3x}\cos xdx=\\=\begin{bmatrix} u(x)=\cos x&u'(x)=-\sin x \\v'(x)=e^{-3x}&v(x)=-\frac{1}{3}e^{-3x}\end{bmatrix}=-\frac{1}{3}e^{-3x}\sin x+\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}e^{-3x}\cos x-\frac{1}{3}\int e^{-3x}\sin x dx)=\\=
-\frac{1}{3}e^{-3x}\sin x-\frac{1}{9}e^{-3x}\cos x-\frac{1}{9}\int e^{-3x}\sin x dx\\
\int e^{-3x}\sin xdx=-\frac{1}{3}e^{-3x}\sin x-\frac{1}{9}e^{-3x}\cos x-\frac{1}{9}\int e^{-3x}\sin x dx\\
\frac{10}{9}\int e^{-3x}\sin xdx=-\frac{1}{3}e^{-3x}\sin x-\frac{1}{9}e^{-3x}\cos x\\
\int e^{-3x}\sin xdx=-\frac{3}{10}e^{-3x}\sin x-\frac{1}{10}e^{-3x}\cos x

\)

[eresh]

y'-2y=x^2-3x
tutaj tak samo jak wyżej uzmienniłem stała

y=C(x)*e^2x
y'=C'(x)*e^2x+C(x)*e^2x

C=całka z (x^2-3x)e^-2x

Nie wiem czy dobrze wyliczam to C a potem całke, dlatego prosiłbym o sprawdzenie tego

\(\int (x^2-3x)e^{-2x}dx= \begin{bmatrix} u(x)=x^2-3x&u'(x)=2x-3\\v'(x)=e^{-2x}&v(x)=-\frac{1}{2}e^{-2x}\end{bmatrix} =-\frac{1}{2}e^{-2x}(x^2-3x)+\frac{1}{2}\int e^{-2x}(2x-3)dx=\\=\begin{bmatrix} u(x)=2x-3&u'(x)=2\\v'(x)=e^{-2x}&v(x)=-\frac{1}{2}e^{-2x}\end{bmatrix}=\frac{1}{2}e^{-2x}(x^2-3x)+\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}e^{-2x}(2x-3)+\int e^{-2x}dx)=\\
=\frac{1}{2}e^{-2x}(x^2-3x)-\frac{1}{4}e^{-2x}(2x-3)-\frac{1}{4}e^{-2x}\)

[panb]

A czemu nie metodą przewidywań, jak w tytule posta?
Równanie jednorodne rozwiązałeś ok: \(y_0=Ce^{3x}\)
Teraz przewidujemy, że "dodatek" będzie postaci \(y_1=a\sin x+b\cos x,\,\,\, y_1'=a\cos x-b\sin x\)

\(y_1'-3y_1=\sin x \iff a\cos x-b\sin x-3(a\sin x+b\cos x)\equiv\sin x \\
(a-3b)\cos x-(3a+b)\sin x \equiv \sin x\\
\begin{cases}a-3b=0\\3a+b=-1 \end{cases} \So a=- \frac{3}{10} ,b=- \frac{1}{10} \)

Odpowiedź: \(y=Ce^{3x}- \frac{3}{10}\sin x- \frac{1}{10}\cos x\)

[hehebela]

Skąd mam wiedzieć że dodatek będzie właśnie w takiej postaci?

[panb]

To zależy od postaci funkcji, która stoi po prawej stronie. Jest na to przepis.

[panb]

W drugim przykładzie, po prawej stronie jest wielomian stopnia drugiego, więc dodatek \(\,y_1=Ax^2+Bx+C\)

[panb]

Poczytaj o tym np. tutaj.

[hehebela]

Dziękuje bardzo