objętość czworościanu

[TomaszSy]

wyprowadzić wzór na objętość czworościanu zbudowanego na wektorach \( \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \)

[panb]

Na początek znany (mam nadzieję) wzór na objętość równoległościanu:

równoległościan

rys1.png (12.73 KiB) Przejrzano 1209 razy

\(|V_r|= \vec{a} \circ \left( \vec{b} \times \vec{c} \right) \)

Teraz znany ze szkoły fakt: ostrosłup o tej samej podstawie i wysokości co graniastosłup ma objętość 3 razy mniejszą.
Zatem

ostrosłup

rys2.png (14.43 KiB) Przejrzano 1209 razy

\(|V_o|= \frac{1}{3} \vec{a} \circ \left( \vec{b} \times \vec{c} \right)\)

I ostatni myk. Czworościan stanowi połowę takiego ostrosłupa (co widać na załączonym obrazku):

czworościan

rys3.png (11.38 KiB) Przejrzano 1209 razy

Zatem \(|V|= \frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{3} \vec{a} \circ \left( \vec{b} \times \vec{c} \right)\right)= \frac{1}{6} \vec{a} \circ \left( \vec{b} \times \vec{c} \right) \)

Może być?

[Jerry]

wyprowadzić wzór na objętość czworościanu zbudowanego na wektorach \( \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \)

Jeśli podstawą jest trójkąt rozpięty na \(\vec a,\ \vec b\), to pole powierzchni podstawy równe jest \(P_P=\frac{1}{2}\cdot |\vec a\times\vec b|\), a wektorem normalnym do powierzchni podstawy jest \(\vec N=\vec a\times\vec b\).
Pomiędzy kierunkiem wysokości \(H\parallel \vec N\) i wektorem \(\vec c\) istnieje taki kąt\(\alpha\), że \(\cos\alpha=\frac{\vec c \circ\vec N}{|\vec c|\cdot |\vec N|}\).
Zatem \(H=|\vec c|\cdot |\cos\alpha|=\cdots \) *
Pozostaje
\(V=\frac{1}{3}P_P\cdot H=\cdots\)

Moduł zabezpiecza nam dodatniość wysokości, gdyby \(H\) i \(\vec N\) nie zawierały się w jednej półprzestrzeni ograniczonej płaszczyzną podstawy ostrosłupa, to kąt \(\alpha\) byłby rozwarty i pojawiłaby nam się liczba ujemna, kolokwialnie rzecz ujmując - głębokość

Pozdrawiam

[edited] chyba właśnie wywiodłem na piechotę wzór podany przez panb