Udowodnij, że zbiór macierzy

[Kowal1998]

Udowodnij, że zbiór wszystkich macierzy rozmiaru 2x2 o niezerowym wyznaczniku, jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Co się stanie, gdy rozmiar macierzy będzie wynosił 3x3 (odpowiednio n x n)?

[grdv10]

Jest to tzw. grupa liniowa. Niech od razu wymiar macierzy będzie \(n\times n\).

Działanie mnożenia macierzy nie wyprowadza poza zbiór macierzy nieosobliwych (tzn. o wyznaczniku niezerowym) ze względu na twierdzenie Cauchy'ego (\(\det(AB)=\det A\cdot\det B\)).

Mnożenie macierzy jest łączne, ma element neutralny (macierz jednostkową, która oczywiście jest nieosobliwa) oraz odwrotny (macierz odwrotną, która też jest nieosobliwa).