Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kuba93p3
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 09 lut 2020, 20:09
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: kuba93p3 »

Witam, szukam łatwego sposobu na obliczanie jądra i obrazu przekształcenia liniowego.
znalazłem coś takiego: https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=11182#p52850
niestety gdy próbuje znaleźć jądro i obraz tym sposobem dla przekształcenia f : R^3 →R^3, f (x,y,z) = (x −y,y −z,0)
to wychodzi mi dobre jądro ale obraz już nie. wyniki jakie mi wychodzą to ker f= lim{(1,1,1)} a im f={(1,0,0),(0,1,0)}
prawidłowe wyniki to:
ker f= lim{(1,1,1)}
im f={(1,0,0),(-1,1,0)}
prosze o pomoc
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: grdv10 »

Jądro jest zbiorem rozwiązań jednorodnego układu równań\[\left\{\begin{aligned}x-y&=0,\\ y-z&=0,\end{aligned}\right.\]czyli \(x=y=z\), a więc \(x=t,\ y=t,\ z=t\), więc \(\ker f=\text{lin}\{(1,1,1)\}.\) Co do obrazu, niech \(f(x,y,z)=(u,v,w).\) Dlatego mamy tu układ równań:\[\left\{\begin{aligned}x-y&=u,\\ y-z&=v,\\ 0&=w.\end{aligned}\right.\]Jest to zbiór rozwiązań układu równań liniowych. Wyznacz bazę przestrzeni rozwiązań.
kuba93p3
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 09 lut 2020, 20:09
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Re: Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: kuba93p3 »

wyznaczanie jądra już rozumiem ale nie wiem jak wyznaczyć tą bazę przestrzeni rozwiązań, mógłbyś dokończyć obliczanie obrazu?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: panb »

Mi też taki obraz wyszedł.
Z układu podanego przez @szw1710 też tak wychodzi.
Z przestrzeniami liniowymi tak bywa. Zauważ, że (1,0,0)+(-1,1,0)=(0,1,0), więc
\(lin\{(1,0,0),(-1,1,0)\}=lin\{(1,0,0),(0,1,0)\}\)

Ten sposób wyznaczania obrazu działa.
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: grdv10 »

Można zauważyć, że\[f(x,y,z)=x(1,0,0)-y(1,1,0)-z(0,1,0),\]a te trzy wektory są liniowo zależne. Wybierz dwa liniowo niezależne są nimi np. \((1,0,0)\) oraz \((0,1,0)\), jak napisano powyżej.
ODPOWIEDZ