Odwzorowanie liniowe

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
MiedzianyDawid
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 136
Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
Podziękowania: 112 razy
Płeć:

Odwzorowanie liniowe

Post autor: MiedzianyDawid »

L: \( \rr ^3 \in (x,y,z) \to (x+2y,z,2x+4y) \in \rr ^3\)
Wyznacz macierz odwzorowania L w bazach kanonicznych oraz podaj wymiary jądra i obrazu tego odwzorowania.
Wyznacz KerL oraz sprawdź, czy odwzorowanie L jest monomorfizmem.
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Odwzorowanie liniowe

Post autor: grdv10 »

Macierz odwzorowania ma rząd dwa. Dlatego jądro ma wymiar jeden jako zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań. Mamy takie twierdzenie, że wymiar dziedziny to wymiar jądra + wymiar obrazu. Dlatego obraz jest dwuwymiarowy. Co do wyznaczenia samej macierzy, robi się to przez zwykłe mnożenie przez kolumnę argumentów. We wzorze, jaki prezentujesz, masz kolejno wiersze tej macierzy, a dokładniej ich współczynniki.\[A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&0&1\\2&4&0\end{bmatrix}\]
MiedzianyDawid
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 136
Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
Podziękowania: 112 razy
Płeć:

Re: Odwzorowanie liniowe

Post autor: MiedzianyDawid »

A czy mógłby ktoś rozwiązać całe to zadanie, abym mógł je przeanalizować?
Byłoby mi łatwiej wtedy zrozumieć schemat takiego zadania, bo podobne może być na egzaminie.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Odwzorowanie liniowe

Post autor: panb »

  1. Najpierw o macierzy przekształcenia.
    \((x+2y,z,2x+4y)=x(1,0,2)+y(2,0,4)+z(0,1,0)\). Stąd otrzymujemy macierz A przekształcenia L zapisując (kolumnami) otrzymane wektory.
    \[ A=\begin{bmatrix} 1&2&0\\ 0&0&1\\ 2&4&0\end{bmatrix} \]
    Teraz przekształcenie L można zapisać w postaci \[L(x,y,z)=\begin{bmatrix} 1&2&0\\ 0&0&1\\ 2&4&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\z\end{bmatrix} \]
  2. Teraz jądro. To dość proste. Rozwiązujemy układ równań (łatwo widać skąd biorą się rownania)
    \( \begin{cases} x+ 2y=0\\ z= 0\\ 2x+ 4y= 0\end{cases} \iff x=-2y, \,\,\,y= y,\,\,\, z=0 \)
    Czyli rozwiązaniem są trójki tworzące wektor (-2y,y,0)=y(-2,1,0).
    Wszystkie te wektory tworzą przestrzeń wymiaru 1 rozpietą na wektorze (-2,1,0).
    \(Ker L=lin \left\{ (-2,1,0)\right\} \)
  3. Wymiar obrazu to tak jak pisze @szw1710: dim Im = dim V - dim Ker, więc dim Im= 3-1=2
  4. Ponieważ \(Ker L \neq \left\{ 0\right\}\) , więc nie jest to monomorfizm.
Mam nadzieję, że już takie zadania nie będą problemem.
MiedzianyDawid
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 136
Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
Podziękowania: 112 razy
Płeć:

Re: Odwzorowanie liniowe

Post autor: MiedzianyDawid »

Dzięki wielkie!
ODPOWIEDZ