L: \( \rr ^3 \in (x,y,z) \to (x+2y,z,2x+4y) \in \rr ^3\)
Wyznacz macierz odwzorowania L w bazach kanonicznych oraz podaj wymiary jądra i obrazu tego odwzorowania.
Wyznacz KerL oraz sprawdź, czy odwzorowanie L jest monomorfizmem.
Odwzorowanie liniowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 136
- Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
- Podziękowania: 112 razy
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Odwzorowanie liniowe
Macierz odwzorowania ma rząd dwa. Dlatego jądro ma wymiar jeden jako zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań. Mamy takie twierdzenie, że wymiar dziedziny to wymiar jądra + wymiar obrazu. Dlatego obraz jest dwuwymiarowy. Co do wyznaczenia samej macierzy, robi się to przez zwykłe mnożenie przez kolumnę argumentów. We wzorze, jaki prezentujesz, masz kolejno wiersze tej macierzy, a dokładniej ich współczynniki.\[A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&0&1\\2&4&0\end{bmatrix}\]
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 136
- Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
- Podziękowania: 112 razy
- Płeć:
Re: Odwzorowanie liniowe
A czy mógłby ktoś rozwiązać całe to zadanie, abym mógł je przeanalizować?
Byłoby mi łatwiej wtedy zrozumieć schemat takiego zadania, bo podobne może być na egzaminie.
Byłoby mi łatwiej wtedy zrozumieć schemat takiego zadania, bo podobne może być na egzaminie.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Odwzorowanie liniowe
- Najpierw o macierzy przekształcenia.
\((x+2y,z,2x+4y)=x(1,0,2)+y(2,0,4)+z(0,1,0)\). Stąd otrzymujemy macierz A przekształcenia L zapisując (kolumnami) otrzymane wektory.
\[ A=\begin{bmatrix} 1&2&0\\ 0&0&1\\ 2&4&0\end{bmatrix} \]
Teraz przekształcenie L można zapisać w postaci \[L(x,y,z)=\begin{bmatrix} 1&2&0\\ 0&0&1\\ 2&4&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\z\end{bmatrix} \] - Teraz jądro. To dość proste. Rozwiązujemy układ równań (łatwo widać skąd biorą się rownania)
\( \begin{cases} x+ 2y=0\\ z= 0\\ 2x+ 4y= 0\end{cases} \iff x=-2y, \,\,\,y= y,\,\,\, z=0 \)
Czyli rozwiązaniem są trójki tworzące wektor (-2y,y,0)=y(-2,1,0).
Wszystkie te wektory tworzą przestrzeń wymiaru 1 rozpietą na wektorze (-2,1,0).
\(Ker L=lin \left\{ (-2,1,0)\right\} \) - Wymiar obrazu to tak jak pisze @szw1710: dim Im = dim V - dim Ker, więc dim Im= 3-1=2
- Ponieważ \(Ker L \neq \left\{ 0\right\}\) , więc nie jest to monomorfizm.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 136
- Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
- Podziękowania: 112 razy
- Płeć: