Kąt między płaszczyznami oraz rzut prostokątny prostej k na płaszczyznę.

[ILikeTurtlesGDamn]

Witam, bardzo proszę o rozwiązanie poniższych przykładów ponieważ chciałbym wiedzieć jak zrobić następne przykłady samodzielnie.

(1) Wyznacz kąt między płaszczyznami:
x-2\(\sqrt{y}+z-1=0\) oraz x+2\(\sqrt{y}-z+3=0\)

(2) Wyznacz rzut prostokątny prostej k na płaszczyznę \(\pi\):
k : (x,y,z) = (1,0,0)+r(2,-1,1)
\(\pi\) : (x,y,z) = (1,1,1)+s(1,1,0)+t(2,1,-1) r,s,t \(\in \rr \)

[radagast]

(1) Wyznacz kąt między płaszczyznami:
x-2\(\sqrt{y}+z-1=0\) oraz x+2\(\sqrt{y}-z+3=0\)

\( \pi _1: x-2\sqrt{y}+z-1=0\) oraz \( \pi _2: x+2\sqrt{y}-z+3=0\)
wektor \( \left[ 1,-2,1 \right]\) jest prostopadły do \( \pi _1\)
wektor \( \left[ 1,2,-1 \right]\) jest prostopadły do \( \pi _2\)
Miara kąta między płaszczyznami jest taka sama jak miara kąta między tymi wektorami.Oznaczmy ją \( \alpha \).
\(\cos \alpha = \frac{\left[ 1,-2,1 \right] \circ \left[ 1,2,-1 \right]}{2 \sqrt{6} } = \frac{4}{2 \sqrt{6}}=\frac{ \sqrt{6}}{3} \)

[radagast]

(2) Wyznacz rzut prostokątny prostej k na płaszczyznę \(\pi\):
k : (x,y,z) = (1,0,0)+r(2,-1,1)
\(\pi\) : (x,y,z) = (1,1,1)+s(1,1,0)+t(2,1,-1) r,s,t \(\in \rr \)

Pewnie są na to jakieś metody ale ja ich nie pamiętam , to "na piechotę":


\( \pi : -x+y-z+1=0\) (zamieniłam równanie parametryczne na ogólne)
\(k:(2r+1,-r,r)\)
\(-2r-1-r-r+1=0 \iff r=0\)
zatem punkt wspólny prostej i płaszczyzny to \( \left(1,0,0 \right) \).

Wyznaczmy inny (dowolny) punkt prostej: np \( \left(-1,1,-1 \right) \) (dla r=-1) i zrzutujmy go na płaszczyznę \(\pi\):
prosta \(l\) prostopadła do \(\pi\), przechodząca przez \( \left(-1,1,-1 \right) \) to
\(l:(-q-1,q+1,-q-1)\)
\(q+1+q+1+q+1+1=0 \iff q=- \frac{4}{3} \) czyli rzutem punktu \( \left(-1,1,-1 \right) \) na \(\pi\) jest \( \left( \frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3} \right) \)

Teraz trzeba poprowadzić prostą przez punkty \( \left(1,0,0 \right) \) i \( \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3} \right) \) i to będzie szukana prosta:
Wektor do niej równoległy:\( \left[\frac{2}{3} ,-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right] \) lub lepiej \( \left[2 ,-2,-1\right] \)
No to szukana prosta ma przedstawienie parametryczne \(\left(2q+1,-2q,-q \right)\) lub, "po Twojemu" \(\left(1,0,0\right)+q\left(2,-2,-1\right)\)