Zadanie z odwzorowaniem liniowym

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kiras
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 63
Rejestracja: 12 lis 2019, 20:56
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Zadanie z odwzorowaniem liniowym

Post autor: Kiras »

Wyznaczyć bazę jądra i obrazu odwzorowania liniowego \(f\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^2\) określonego wzorem \(f(x,y,z)=(2x+y;x-y+z)\). Sprawdzić czy \(f\) jest (i dlaczego) monomorfizmem ,epimorfizmem lub izomorfizmem.
Ostatnio zmieniony 19 sty 2020, 21:55 przez grdv10, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa LaTeX-a i tytułu
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Zadanie z odwzorowaniem liniowym

Post autor: grdv10 »

Jądro jest przestrzenią będącą zbiorem rozwiązań układu jednorodnego\[2x+y=0,\ x-y+z=0,\] więc \(x=t,\ y=-2t,\ z=-3t\), a zatem \((x,y,z)=t(1,-2,-3)\) i jest to podprzestrzeń jednowymiarowa, której bazą jest singleton \(\{(1,-2,-3)\}.\) Dla odwzorowania liniowego mamy twierdzenie, że wymiar dziedziny jest sumą wymiaru jądra i wymiaru obrazu. No więc obraz musi być dwuwymiarowy, a jedyną dwuwymiarową podprzestrzenią \(\Bbb R^2\) jest sama \(\Bbb R^2\) i jest to szukany obraz.

Odwzorowanie nie jest monomorfizmem, bo jądro nie jest singletonem (na zero przechodzi nieskończenie wiele wektorów). Jest epimorfizmem ze względu na jego obraz. Nie jest izomorfizmem, gdyż izomorfizm zachowuje wymiar przestrzeni.
Kiras
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 63
Rejestracja: 12 lis 2019, 20:56
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Re: Zadanie z odwzorowaniem liniowym

Post autor: Kiras »

A można ciut dokładniej wyjaśnić bo jestem na niskim poziomie z algebrą ?
ODPOWIEDZ