2 zadania związane z endomorfizmami

[Kiras]

1.Sprawdzić czy endomorfizm f(x,y,z,t)=(-x,2y,x+2z,y-t) jest diagonalizowalny ,
jeśli tak to wyznaczyć bazę B, w której macierz D tego endomorfizmu ma postać diagonalną .
Podać macierz D.

2.Endomorfizm f przestrzeni \(R^3\) spełnia warunki :
f(0,1,2)=(0,-1,-2)
f(1,1,3)=(0,0,0)
f(2,1,0)=(2,1,0)
Obliczyć f^666 (4,-4,0)

[panb]

1.Sprawdzić czy endomorfizm f(x,y,z,t)=(-x,2y,x+2z,y-t) jest diagonalizowalny ,
jeśli tak to wyznaczyć bazę B, w której macierz D tego endomorfizmu ma postać diagonalną .
Podać macierz D.

\(f(x,y,z,t)=(-x,2y,x+2z,y-t)=x(-1,0,1,0)+y(0,2,0,1)+z(0,0,2,0)+t(0,0,0,-1)\)
\(A= \begin{bmatrix} -1&0&0&0\\0&2&0&0\\1&0&2&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix} \) jest więc macierzą tego przekształcenia.

Rozpoczynamy procedurę diagonalizacji, czyli znalezienia macierzy P takiej, że \(D=PAP^{-1}\) jest macierzą diagonalną.
P jest macierzą wektorów własnych przekształcenia f i jeśli te wektory są liniowo niezależne, to da się znaleźć \(P^{-1}\), a co za tym idzie macierz D.

1. Najpierw znajdujemy wartości własne: \( \begin{vmatrix}-1-\lambda&0&0&0\\0&2-\lambda&0&0\\1&0&2-\lambda&0\\0&1&0&-1 -\lambda\end{vmatrix}0= \iff \lambda=2 \vee \lambda=-1 \)
2. Wektory własne odpowiadające tym wartościom, to: (0,3,0,1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (-3, 0, 1, 0)
3. Tworzą one układ liniowo niezależny, bo \( \begin{vmatrix}0&0&0&-3\\3&0&0&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0 \end{vmatrix}=9 \neq0\So P= \begin{bmatrix} 0&0&0&-3\\3&0&0&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\end{bmatrix}\)
4. Obliczamy \(P^{-1}= \frac{1}{3} \begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&3&0\\0&-1&0&3\\-1&0&0&0 \end{bmatrix} \)
5. Znajdujemy macierz \(D=P^{-1}AP= \begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1 \end{bmatrix} \)

Sprawdzenie:
Obliczamy \(PDP^{-1}= \begin{bmatrix} 0&0&0&-3\\3&0&0&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&3&0\\0&-1&0&3\\-1&0&0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1&0&0&0\\0&2&0&0\\1&0&2&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}=A\)

Odpowiedź: \(D=\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1 \end{bmatrix}\)

[panb]

Trzeba znaleźć macierz tego przekształcenia, a dalej jak w zadaniu - zdiagonalizować, bo \(A^n=PD^nP^{-1}\)
Niech \(A= \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix} \), wtedy
\(A \cdot \begin{bmatrix} 0\\1\\2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\-1\\-2 \end{bmatrix}\\
A \cdot \begin{bmatrix} 1\\1\\3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\0\\0 \end{bmatrix}\\
A \cdot \begin{bmatrix} 2\\1\\0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2\\1\\0 \end{bmatrix}\)

Warunki te spełnia macierz \(A= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}&1& -\frac{1}{2} \\1&-1&0\\ \frac{3}{2}&-3& \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 1&2& -1 \\2&-2&0\\ 3&-6& 1 \end{bmatrix} \)

Dalej jak w zadaniu 1 ...