Udowodnij , że:
a) \(2^n <n!\)
b) \((3|(2^{2n}+5)\) dla \(n \in\Bbb N\)
c) \(133| (11^{n+1}+12^{2n-1})\)
Udowodnij , że:
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Udowodnij , że:
a) Nierówność jest fałszywa dla \(n\in\{1,2,3\}.\) Niech więc \(n\geqslant 4.\)
Ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n=\dfrac{2^n}{n!}\) jest malejący. Istotnie,\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2\cdot 2^n}{n!(n+1)}\cdot \dfrac{n!}{2^n}=\dfrac{2}{n+1}<1\] dla wszystkich \(n\geqslant 2,\) więc mamy \(a_{n+1}<a_n\) dla wszystkich \(n\geqslant 2.\). Pierwszym wyrazem \(a_n\), dla którego \(a_n<1\), jest \(a_4\). Tak więc mamy \(a_n<1\) dla wszystkich \(n\geqslant 4.\)
b) Mamy \(2^{2n}=4^n.\) Skoro \(4\) w dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\), to dowolna potęga czwórki w dzieleniu przez \(3\) też daje resztę \(1.\) Dodajmy: \(4^n+5\) daje więc resztę taką, jak \(1+5=6\), czyli resztę zerową - liczba \(4^n+5\) jest więc podzielna przez \(3\).
c) Jeśli \(n=1,\) to naszą liczbą jest \(121+12=133\) i nie ma czego dowodzić. Niech więc \(n\geqslant 2.\) Mamy \[\begin{aligned}&11^{n+1}+12^{2n-1}=121\cdot 11^{n-1}+12\cdot 144^{n-1}=133\cdot 11^{n-1}-12\cdot 11^{n-1}+12\cdot 144^{n-1}=\\&=133\cdot 11^{n-1}+12\bigl(144^{n-1}-11^{n-1})=\\&=133\cdot 11^{n-1}+12\cdot(144-11)(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot 11+144^{n-4}\cdot 11^2+\dots+11^{n-2}\bigr)=\\&=133\Bigl[11^{n-1}+12\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}144^{n-2-k}\cdot 11^k\Bigr],\end{aligned}\]więc badana liczba jest podzielna przez \(133.\)
Wszystkie dowody przeprowadziłem bez użycia zasady indukcji matematycznej.
Ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n=\dfrac{2^n}{n!}\) jest malejący. Istotnie,\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2\cdot 2^n}{n!(n+1)}\cdot \dfrac{n!}{2^n}=\dfrac{2}{n+1}<1\] dla wszystkich \(n\geqslant 2,\) więc mamy \(a_{n+1}<a_n\) dla wszystkich \(n\geqslant 2.\). Pierwszym wyrazem \(a_n\), dla którego \(a_n<1\), jest \(a_4\). Tak więc mamy \(a_n<1\) dla wszystkich \(n\geqslant 4.\)
b) Mamy \(2^{2n}=4^n.\) Skoro \(4\) w dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\), to dowolna potęga czwórki w dzieleniu przez \(3\) też daje resztę \(1.\) Dodajmy: \(4^n+5\) daje więc resztę taką, jak \(1+5=6\), czyli resztę zerową - liczba \(4^n+5\) jest więc podzielna przez \(3\).
c) Jeśli \(n=1,\) to naszą liczbą jest \(121+12=133\) i nie ma czego dowodzić. Niech więc \(n\geqslant 2.\) Mamy \[\begin{aligned}&11^{n+1}+12^{2n-1}=121\cdot 11^{n-1}+12\cdot 144^{n-1}=133\cdot 11^{n-1}-12\cdot 11^{n-1}+12\cdot 144^{n-1}=\\&=133\cdot 11^{n-1}+12\bigl(144^{n-1}-11^{n-1})=\\&=133\cdot 11^{n-1}+12\cdot(144-11)(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot 11+144^{n-4}\cdot 11^2+\dots+11^{n-2}\bigr)=\\&=133\Bigl[11^{n-1}+12\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}144^{n-2-k}\cdot 11^k\Bigr],\end{aligned}\]więc badana liczba jest podzielna przez \(133.\)
Wszystkie dowody przeprowadziłem bez użycia zasady indukcji matematycznej.