znajdź pierwiastki zespolone

[LuckyLuck]

znajdź pierwiastki zespolone
\( \sqrt[4]{-8-8 \sqrt{3}i } \)
policzyłem |z|=2
czy argument będzie wynosił \(\frac{33 \pi }{18}\) ?
znam wzory jak policzyć pierwiastki ale nie radzę sobie z wyliczaniem sinusów i cosinusów
pomożecie ?

[kerajs]

\(z=-8-i8 \sqrt{3} =16(\cos \frac{4 \pi }{3} +i\sin \frac{4 \pi }{3})\\
\sqrt[4]{z}=2 (\cos (\frac{ \pi }{3}+ \frac{k \pi }{4} ) +i\sin (\frac{ \pi }{3}+ \frac{k \pi }{4} ) )\)
podstaw za k liczby 0,1,2,3, a otrzymasz cztery szukane pierwiastki.

[LuckyLuck]

skąd wzieło się \(\frac{ \pi }{3} \) ?

[kerajs]

Argument liczby podpierwiastkowej to: \(\frac{4 \pi} {3} +k2 \pi \)
Skoro pierwiastek jest 4 stopnia to wyniki będą miały argumenty \( \frac{1}{4} (\frac{4 \pi }{3} +k2 \pi )= \frac{ \pi }{3} +k \frac{ \pi }{2} \) dla czterech kolejnych całkowitych wartości k.