Udowodnij równość, macierz ma rozmiar (nxn)
\( \begin{bmatrix}5&&1 &&0&&...&&0&&0\\4&&5&&1&&...&&0&&0\\0&&4&&5&&...&&0&&0\\.&&.&&.&&...&&.&&.\\.&&.&&.&&...&&.&&. \\.&&.&&.&&...&&.&&.\\0&&0&&0&&...&&4&&5 \end{bmatrix} \) = \( \frac{4^{n+1} - 1}{3} \)
Udowodnij równość
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Udowodnij równość
Chyba miało być:
Udowodnij równość
\( det \begin{bmatrix}5&&1 &&0&&...&&0&&0\\4&&5&&1&&...&&0&&0\\0&&4&&5&&...&&0&&0\\.&&.&&.&&...&&.&&.\\.&&.&&.&&...&&.&&. \\.&&.&&.&&...&&.&&.\\0&&0&&0&&...&&4&&5 \end{bmatrix}=\frac{4^{n+1} - 1}{3} \)
A wtedy rozwijając względem pierwszej kolumny mam:
\( det \begin{bmatrix}5&&1 &&0&&...&&0&&0\\4&&5&&1&&...&&0&&0\\0&&4&&5&&...&&0&&0\\.&&.&&.&&...&&.&&.\\.&&.&&.&&...&&.&&. \\.&&.&&.&&...&&.&&.\\0&&0&&0&&...&&4&&5 \end{bmatrix}= 5 \cdot det \begin{bmatrix}5&&1&&...&&0&&0\\4&&5&&...&&0&&0\\.&&.&&...&&.&&.\\.&&.&&...&&.&&. \\.&&.&&...&&.&&.\\0&&0&&...&&4&&5 \end{bmatrix}-4 \cdot det \begin{bmatrix}1 &&0&&...&&0&&0\\4&&5&&...&&0&&0\\.&&.&&...&&.&&.\\.&&.&&...&&.&&. \\.&&.&&...&&.&&.\\0&&0&&...&&4&&5 \end{bmatrix} =\)
\(=5 \cdot det \begin{bmatrix}5&&1&&...&&0&&0\\4&&5&&...&&0&&0\\.&&.&&...&&.&&.\\.&&.&&...&&.&&. \\.&&.&&...&&.&&.\\0&&0&&...&&4&&5 \end{bmatrix}-4 \cdot 1 \cdot det \begin{bmatrix}5&&...&&0&&0\\.&&...&&.&&.\\.&&...&&.&&. \\.&&...&&.&&.\\0&&...&&4&&5 \end{bmatrix}\)
Jak widać (?) w rozwinięciu dostaję wyznaczniki o podobnej strukturze, lecz mniejszym stopniu. Daje to równanie rekurencyjne:
\(a_n=5a_{n-1}-4a_{n-2} \)
jego równanie charakterystyczne to:
\(r^2=5r-4 \So (r-1)(r-4)=0\)
więc rozwiązanie to:
\(a_n=A \cdot 1^n+B \cdot 4^n\)
Warunki początkowe:
\(a_1= det \begin{bmatrix}5 \end{bmatrix} =5\\
a_2= det \begin{bmatrix}5&&1\\4&&5 \end{bmatrix}=21\)
dają układ:
\(\begin{cases} 5=A+4B \\ 21=A+16B
\end{cases} \So \begin{cases} A= \frac{-1}{3} \\ B= \frac{4}{3} \end{cases} \)
więc ostatecznie
\(det A_n=a_n= \frac{-1}{3}+ \frac{4}{3} \cdot 4^n= \frac{4^{n+1}-1}{3} \)
qed
Udowodnij równość
\( det \begin{bmatrix}5&&1 &&0&&...&&0&&0\\4&&5&&1&&...&&0&&0\\0&&4&&5&&...&&0&&0\\.&&.&&.&&...&&.&&.\\.&&.&&.&&...&&.&&. \\.&&.&&.&&...&&.&&.\\0&&0&&0&&...&&4&&5 \end{bmatrix}=\frac{4^{n+1} - 1}{3} \)
A wtedy rozwijając względem pierwszej kolumny mam:
\( det \begin{bmatrix}5&&1 &&0&&...&&0&&0\\4&&5&&1&&...&&0&&0\\0&&4&&5&&...&&0&&0\\.&&.&&.&&...&&.&&.\\.&&.&&.&&...&&.&&. \\.&&.&&.&&...&&.&&.\\0&&0&&0&&...&&4&&5 \end{bmatrix}= 5 \cdot det \begin{bmatrix}5&&1&&...&&0&&0\\4&&5&&...&&0&&0\\.&&.&&...&&.&&.\\.&&.&&...&&.&&. \\.&&.&&...&&.&&.\\0&&0&&...&&4&&5 \end{bmatrix}-4 \cdot det \begin{bmatrix}1 &&0&&...&&0&&0\\4&&5&&...&&0&&0\\.&&.&&...&&.&&.\\.&&.&&...&&.&&. \\.&&.&&...&&.&&.\\0&&0&&...&&4&&5 \end{bmatrix} =\)
\(=5 \cdot det \begin{bmatrix}5&&1&&...&&0&&0\\4&&5&&...&&0&&0\\.&&.&&...&&.&&.\\.&&.&&...&&.&&. \\.&&.&&...&&.&&.\\0&&0&&...&&4&&5 \end{bmatrix}-4 \cdot 1 \cdot det \begin{bmatrix}5&&...&&0&&0\\.&&...&&.&&.\\.&&...&&.&&. \\.&&...&&.&&.\\0&&...&&4&&5 \end{bmatrix}\)
Jak widać (?) w rozwinięciu dostaję wyznaczniki o podobnej strukturze, lecz mniejszym stopniu. Daje to równanie rekurencyjne:
\(a_n=5a_{n-1}-4a_{n-2} \)
jego równanie charakterystyczne to:
\(r^2=5r-4 \So (r-1)(r-4)=0\)
więc rozwiązanie to:
\(a_n=A \cdot 1^n+B \cdot 4^n\)
Warunki początkowe:
\(a_1= det \begin{bmatrix}5 \end{bmatrix} =5\\
a_2= det \begin{bmatrix}5&&1\\4&&5 \end{bmatrix}=21\)
dają układ:
\(\begin{cases} 5=A+4B \\ 21=A+16B
\end{cases} \So \begin{cases} A= \frac{-1}{3} \\ B= \frac{4}{3} \end{cases} \)
więc ostatecznie
\(det A_n=a_n= \frac{-1}{3}+ \frac{4}{3} \cdot 4^n= \frac{4^{n+1}-1}{3} \)
qed