Doprowadź do postaci jawnej schemat

[TomaszSy]

Doprowadź do postaci jawnej schemat :
\( \begin{cases}a_{n+1}-2a_n=2^n\\a_0=1 \end{cases}\)
metodą funkcji (dla równania jednorodnego) charakterystycznej oraz metoda przewidywań dla szukania rozwiązania specjalnego.
Wywnioskuj:

\(a_n=0 (teta)\)

[panb]

Mamy \(a_{n+1}=2a_n+2^n\). Podzielmy obie strony przez \(2^{n+1}\), a otrzymamy \( \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{1}{2} \)
Niech \(b_n= \frac{a_n}{2^n} \). Wtedy \(b_0=a_0=1, \text{ oraz }a_n=2^nb_n\), a równanie powyżej możemy zapisać w postaci \(b_{n+1}=b_n+ \frac{1}{2} \)
Wobec tego
\(b_1=b_0+\frac{1}{2}\\
b_2=b_1+\frac{1}{2}\\
b_3=b_2+\frac{1}{2}\\
\ldots\\
b_{n-1}=b_{n-2}+\frac{1}{2}\\
b_n=b_{n-1}+\frac{1}{2}\)
Dodajmy stronami te równości, a otrzymamy \(b_n=b_0+n \cdot \frac{1}{2}=1+ \frac{n}{2} \)
Mnożąc obie strony przez \(2^n\), otrzymamy
\[2^nb_n=a_n=2^n+n \cdot \frac{2^n}{2} \iff a_n=2^n+n2^{n-1}=(n+2)2^{n-1}\]
Wniosek: \(a_n=O \left(2^n \right) \) - chociaż nie wiem, czy o to chodziło, bo zapis niejasny.